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- 2021-06-03 发布
2018届高三数学30个黄金考点精析精训
考点15 平面向量的数量积
【考点剖析】
1.最新考试说明：
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
2.命题方向预测：
向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．
3.课本结论总结：
（1）两个向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（2）平面向量数量积
①已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
②a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
（3）向量数量积的性质
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
②a⊥ba·b＝0.
③a·a＝|a|2，.
④cos θ＝.(θ为a与b的夹角)
⑤|a·b|≤|a||b|.
（4）数量积的运算律
①交换律：a·b＝b·a.
②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（5）数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：
①a·b＝a1b1＋a2b2.
②a⊥ba1b1＋a2b2＝0.
③|a|＝.
④cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)
4.名师二级结论：
(1)向量 b在a的方向上的投影为|b|cos θ=.
（2）若向量a∥b，且b=，则可设a=.
5.课本经典习题：
(1)新课标A版第108 页，习题2.4A组第3题
已知||=2，||=5，·=-3，求|+|,|-|.
【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.
(2) 新课标A版第108 页，习题2.4A组第7题
已知||=4，||=3，(2-3)·(2+)=61，求与的夹角.
【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.
6.考点交汇展示：
(1)与平面几何交汇
【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（
），且，则的值为 .
【答案】
【解析】
试题分析： ,则
.
(2)与不等式交汇
1.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2.【2016高考浙江】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是 ．
【答案】
【解析】，即最大值为.
（3）与三角函数交汇
【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．
【答案】
【解析】由已知得，不妨取，，设，则
，取等号时与同号．
所以
，（其中，取为锐角）．
显然
易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到．故所求最大值为．
【考点分类】
热点1 平面向量数量积及其几何意义
1.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.
【答案】
2. 【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】因为,,
因此，．
【方法规律】
1.平面向量数量积的计算方法
①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；
②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；
③用平面向量数量积的几何意义计算.
2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．
【解题技巧】
1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.
2. 计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用||计算;思路2，利用计算.
3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.
【易错点睛】
1.向量的数量积不满足消去率和结合律.
2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.
3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.
例 已知平面向量a,b,c，下列说法中：
①若a·b=a·c,则a=c； ②a(b·c)=(a·b)c;
③若a·b=0,则a=0或b=0; ④a·b≤|a|·|b|，正确的序号为 .
【错解】①②③④
【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.
【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.
【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故①②，因若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b，故③错，根据平面向量的数量积的性质知④正确，故正确的说法序号为④
热点2 平面向量垂直、平面向量夹角
1.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．
【答案】7
【解析】
2.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 .
【答案】3
3.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .
【答案】
【解析】试题分析：，
，
，
· ，解得：．
【方法规律】
1.对平面向量夹角问题
(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及||、||或它们的关系.
(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.
2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.
【解题技巧】
1.非零向量垂直a,b的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.
2．a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题．
【易错点睛】
1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.
2.若两个向量夹角为锐角，则＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定
3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
4.a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.
例 已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；
【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.
【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况．
【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.
【正解】因为向量与夹角为锐角，所以=+2＞0，解得＞-2.
当=时，与同向，故的范围为.
热点3 平面向量模
1.【2017课标II，文4】设非零向量，满足则
A.⊥ B. C. ∥ D.
【答案】A
【解析】由平方得，即，则，故选A.
2.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
【答案】
【解析】
试题分析：
所以.
秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.
【方法规律】
对平面向量的模问题，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用||=来求解.
【解题技巧】
1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.
2．对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.
【易错点睛】
在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|.
例 已知||=1，||=2，向量与夹角为120o,求||.
【错解】||===5.
【错因分析】错用a·b＝|a||b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.
【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|.
【正解】||===.
【热点预测】
1.【2016高考新课标3理数】已知向量 ， ，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意，得，所以，故选A．
2．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量a,b满足a+b=a-b，则a与b-a的夹角是( )
A. π6 B. π3 C. π4 D. 3π4
【答案】D
【解析】∵|a+b|=|a-b| ∴ a+b2=a-b2，∴ a⋅b=0 即a⊥b如图
OA =a=1,0,OB=b=0,1,OC=b-a=-1,1即是第二象限的角平分线，所以由图可见a 与b-a 的夹角是3π4，故选D.
3．【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研】已知向量满足
，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】， ，则，
.选C.
4．【2018届河南省洛阳市高三期中】向量均为非零向量， ，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】， ，所以，即，设的夹角为， ，又，所以的夹角为，故选A.
5．【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
【答案】D
6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若a=b=c=2，且a⋅b=0，a-c⋅b-c≤0，则a+b-c的取值范围是（ ）
A. 0,22+2 B. 0,2
C. 22-2,22+2 D. 22-2,2
【答案】D
【解析】
如图所示：OA=a，OB=b，OC=c，OD=a+b
∵a-c⋅b-c≤0，∴点C在劣弧AB上运动，
a+b-c表示C、D两点间的距离CD。
CD的最大值是BD＝２，CD最小值为OD-2=22-2.
故选：D.
7．【2018届河北省武邑中学高三上第二次调研】设为单位向量且相互垂直，若向量满足，则的最大值是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】由题意结合可设，
则由,得|(x,y)−(1,1)|=|(1,−1)|，
据此可得：(x−1)2+(y−1)2=2，
即对应点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，
∵圆过圆心，
∴的最大值为圆的直径，
故选：A.
8．【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线PA,PB分别于半径为1的圆O相切于点A,B,PO=2,PM=2λPA+(1-λ)PB.，若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( )
A. (-1,1) B. (0,23) C. (13,1) D. (0,1)
【答案】B
【解析】因为PO=2，由切线长定理知PA=PB=3，又
OM=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB ，因此OM2=9λ2-6λ+1<1，解得0<λ<23．
点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量OM=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB=OB+2λPA-λPB，再根据向量的平方运算，求出|OM|2=9λ2-6λ+1，令其小于半径即可求出．
9．【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中， 为边上一点，且，向量与向量共线，若， ， ，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】B
10．【2018届四川省双流中学高三上9月月考】已知平面向量满足，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时，
，应选答案D.
11．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量满足，则最大值为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设， 与所成夹角为，则：
，则向量的夹角为60°，
设，则，故：
，设O到BC的距离为，
则，
由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上，
12．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
，选C.
13.【2017届云南省红河州高三统一检测】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知
设 在上的投影为，则
当时，
当
故当时， 取得最小值为，即
当时， ，即
综上所述
故答案选.
14.已知、为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量、的夹角为___________.
【答案】