2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-6-2椭圆、双曲线、抛物线 24页

第二讲　椭圆、双曲线、抛物线 [必记公式] 1．三个定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋(1 k )2|y1－y2|. 3．抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝ p2 4 ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线 y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－ 2py 类似的性质． [重要性质] 1．椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为 e＝c a. (2)在双曲线中：c2＝b2＋a2；离心率为 e＝c a. 2．双曲线的渐近线方程与焦点坐标 (1)双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±b ax；焦点坐标 F1(－c,0)， F2(c,0)． (2)双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±a bx；焦点坐标 F1(0，－ c)，F2(0，c)． 3．抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)抛物线 y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为( ± p 2 ，0)，准线方程为 x＝∓p 2. (2)抛物线 x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0， ± p 2)，准线方程为 y＝∓p 2. [失分警示] 1．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了 定位往往会做无用功．定位条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p. 2．搞清双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双 曲线渐近线的斜率是±b a 还是±a b. 3．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的 问题，应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零 这一条件． 考点 　圆锥曲线的定义与标准方程　　 典例示法 题型 1　圆锥曲线定义的应用 典例 1　　(1)[2014·重庆高考]设 F 1、F2 分别为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝9 4ab，则 该双曲线的离心率为(　　) A.4 3 B.5 3 C.9 4 D．3 [解析]　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，依题意不妨设 m>n>0，于是Error! ∴m·n＝9 4·m＋n 3 ·m－n 2 ⇒m＝3n(m＝－1 3n舍去). ∴a＝n，b＝4 3n⇒c＝5 3n，∴e＝5 3 ，选 B. [答案]　B (2)[2015·河南郑州质检]已知 P 为抛物线 y＝1 2x2 上的动点，点 P 在 x 轴上的 射影为 M，点 A 的坐标是(6，17 2 )，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　) A．8 B.19 2 C．10 D.21 2 [解析]　依题意可知焦点 F(0，1 2)，准线为 y＝－1 2 ，延长 PM 交准线于点 H， 则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－1 2 ＝|PF|－1 2 ，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－1 2 ， 即求|PF|＋|PA|的最小值． 因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝ 62＋(17 2 －1 2)2＝10， 所以|PM|＋|PA|≥10－1 2 ＝19 2 ，故选 B. [答案]　B 题型 2　求标准方程 典例 2　　(1)[2016·郑州质检]设双曲线的一条渐近线为 y＝－2x，且一个焦 点与抛物线 y＝1 4x2 的焦点相同，则此双曲线的方程为(　　) A.5 4x2－5y2＝1 B．5y2－5 4x2＝1 C．5x2－5 4y2＝1 D.5 4y2－5x2＝1 [解析]　因为 x2＝4y 的焦点为(0,1)，所以双曲线的焦点在 y 轴上．因为双曲 线的一条渐近线为 y＝－2x，所以设双曲线的方程为 y2－4x2＝λ(λ>0)，即y2 λ －x2 λ 4 ＝ 1，则 λ＋λ 4 ＝1，λ＝4 5 ，所以双曲线的方程为5y2 4 －5x2＝1，故选 D. [答案]　D (2)[2014·安徽高考]设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋y2 b2 ＝1(00)． 又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由AF1 → ＝3 F1B → 得 B(－5c 3 ，－b2 3 )，代入 x2＋y2 b2 ＝1 得25c2 9 ＋ b4 9b2 ＝1，又 c2＝1－b2，∴b2＝2 3. 故椭圆 E 的方程为 x2＋3 2y2＝1. [答案]　x2＋3 2y2＝1 圆锥曲线的定义、标准方程的关注点 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不 同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． (3)焦点三角形的作用 借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便 于解决问题． 考点 　圆锥曲线的性质　　 典例示法 典例 3　　(1)[2016·郑州质检]已知椭圆 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，过 F2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，若△F1AB 是以 A 为直角顶点的 等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　) A. 2 2 B．2－ 3 C. 5－2 D. 6－ 3 [解析]　设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1 是以 A 为直角顶点的等腰直角三 角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝ 2m.由椭圆的定义可得△ABF1 的周长为 4a， 即有 4a＝2m＋ 2m，即 m＝(4－2 2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2 2－2)a，在 Rt△ AF1F2 中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即 4c2＝4(2－ 2)2a2＋4( 2－1)2a2，即有 c2＝ (9－6 2)a2，即 c＝( 6－ 3)a，即 e＝c a ＝ 6－ 3，故选 D. [答案]　D (2)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP → ＝3FQ → ，则|QF|＝(　　) A.8 3 B.5 2 C．3 D．2 [解析]　设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 N，则由|NQ| |MF| ＝ 2 3 及|MF|＝p＝4 可得|QF|＝8 3. [答案]　A 本例(2)若改为“抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F， 过 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，若|AF|＝3|BF|，则直线 l 的方程是什么？” 解　作出抛物线的准线 l1 及点 A，B 到准线的垂线段 AA1，BB1，并设直线 l 交准线于点 M，设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由 BB1 ∥AA1 可知|BB1| |AA1| ＝|MB| |MA| ，即 m 3m ＝ |MB| |MB|＋4m ，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m，故∠AMA1 ＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，所以直线 l 的斜率 k＝± 3，从而直线 l 的方 程为 y＝± 3(x－2)． 与圆锥曲线性质有关问题的求解策略 (1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据 题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式， 通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． (3)在双曲线中，由于 e2＝1＋(b a )2，故双曲线的渐近线与离心率有着密切 关系． 针对训练 1.[2015·全国卷Ⅱ]已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为(　　) A. 5 B．2 C. 3 D. 2 答案　D 解析　设双曲线 E 的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，不妨设点 M 在双曲线的 右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作 MH⊥x 轴于 H，则∠MBH＝ 60°，BH＝a，MH＝ 3a，所以 M(2a， 3a)．将点 M 的坐标代入双曲线方程x2 a2 －y2 b2 ＝1，得 a＝b，所以 e＝ 2.故选 D. 2．[2015·重庆高考] 如图，椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQ⊥PF1. (1)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e. 解　(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋ 2)＋(2－ 2)＝4，故 a＝2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2， 因此 2c＝|F1F2| ＝ |PF1|2＋|PF2|2 ＝ (2＋ 2)2＋(2－ 2)2 ＝2 3， 即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)解法一：连接 QF1，如右图，设点 P(x0，y0)在椭圆上，且 PF1⊥PF2，则x20 a2 ＋y20 b2 ＝1，x20＋y20＝c2， 求得 x0＝±a c a2－2b2， y0＝±b2 c . 由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得 x0>0，从而|PF1|2＝(a a2－2b2 c ＋c)2＋b4 c2 ＝2(a2－b2)＋ 2a a2－2b2＝(a＋ a2－2b2)2. 由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a. 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|， 因此(2＋ 2)|PF1|＝4a，即(2＋ 2)(a＋ a2－2b2)＝4a， 于是(2＋ 2)(1＋ 2e2－1)＝4，解得 e＝ 1 2[1＋( 4 2＋ 2 －1)2]＝ 6－ 3. 解法二：连接 QF1，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从 而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ，|PF 1|＝|PQ|，知|QF 1|＝ 2|PF1|，因此，4a－2|PF 1|＝ 2 |PF1|. |PF1|＝2(2－ 2)a， 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－ 2)a＝2( 2－1)a. 由 PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2， 因此 e＝ c a ＝ |PF1|2＋|PF2|2 2a ＝ (2－ 2)2＋( 2－1)2＝ 9－6 2＝ 6－ 3. 考点 　直线与圆锥曲线的位置关系　　 典例示法 题型 1　与弦长、面积有关的问题 典例 4　　[2014·全国卷Ⅰ]已知点 A(0，－2)，椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的 离心率为 3 2 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 3 3 ，O 为坐标原点． (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时， 求 l 的方程． [解]　(1)设 F(c,0)，由条件知，2 c ＝2 3 3 ，得 c＝ 3. 又c a ＝ 3 2 ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意，故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将 y＝kx－2 代入x2 4 ＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>3 4 时，x1,2＝8k ± 2 4k2－3 4k2＋1 . 从而|PQ|＝ k2＋1|x1－x2|＝4 k2＋1· 4k2－3 4k2＋1 . 又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ 2 k2＋1 ， 所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝1 2d·|PQ|＝4 4k2－3 4k2＋1 . 设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝ 4t t2＋4 ＝ 4 t＋4 t . 因为 t＋4 t ≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝± 7 2 时等号成立，且满足 Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 7 2 x－2 或 y＝－ 7 2 x－2. 题型 2　弦中点问题 典例 5　　[2014·江西高考]过点 M(1,1)作斜率为－ 1 2 的直线与椭圆 C：x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等 于________． [解析]　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21 a2 ＋y21 b2 ＝1，① x22 a2 ＋y22 b2 ＝1.② ①、②两式相减并整理得y1－y2 x1－x2 ＝－b2 a2·x1＋x2 y1＋y2. 把已知条件代入上式得，－1 2 ＝－b2 a2 ×2 2 ， ∴b2 a2 ＝1 2 ，故椭圆的离心率 e＝ 1－b2 a2 ＝ 2 2 . [答案]　 2 2 题型 3　相交中的向量问题 典 例 6 　 　 [2014· 陕 西 高 考 ] 如 图 ， 曲 线 C 由 上 半 椭 圆 C1 ： y2 a2 ＋ x2 b2 ＝ 1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线 C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1 与 C2 的公共点 为 A，B，其中 C1 的离心率为 3 2 . (1)求 a，b 的值； (2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，若 AP⊥ AQ，求直线 l 的方程． [解]　(1)在 C1，C2 的方程中，令 y＝0，可得 b＝1，且 A(－1，0)，B(1,0)是 上半椭圆 C1 的左右顶点． 设 C1 的半焦距为 c，由c a ＝ 3 2 及 a2－c2＝b2＝1 得 a＝2. ∴a＝2，b＝1. (2)由(1)知，上半椭圆 C1 的方程为y2 4 ＋x2＝1(y≥0)． 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠0)， 代入 C1 的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点 P 的坐标为(xP，yP)， ∵直线 l 过点 B，∴x＝1 是方程(*)的一个根． 由求根公式，得 xP＝k2－4 k2＋4 ，从而 yP＝ －8k k2＋4 ， ∴点 P 的坐标为(k2－4 k2＋4 ， －8k k2＋4). 同理，由Error! 得点 Q 的坐标为(－k－1，－k2－2k)． ∴AP → ＝ 2k k2＋4(k，－4)，AQ → ＝－k(1，k＋2)． ∵AP⊥AQ，∴AP → ·AQ → ＝0，即－2k2 k2＋4[k－4(k＋2)]＝0， ∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得 k＝－8 3. 经检验，k＝－8 3 符合题意， 故直线 l 的方程为 y＝－8 3(x－1)． 1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长； 涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点 的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． (2)面积问题常采用 S△＝1 2 ×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距 离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角 形的位置，灵活选择其面积表达形式．若求多边形的面积问题，常转化为三角形 的面积后进行求解． (3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、 转化与化归及函数与方程思想的应用． 2．弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 设点——设出弦的两端点坐标 　↓ 代入——代入圆锥曲线方程 　↓ 作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开 　↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 (2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根 与系数的关系时，要注意使用条件 Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥 曲线是否相交． 3．与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用 相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的 方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． [全国卷高考真题调研] 1．[2016·全国卷Ⅱ]已知 F1，F2 是双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1 3 ，则 E 的离心率为(　　) A. 2 B.3 2 C. 3 D．2 答案　A 解析　设 F1(－c,0)，将 x＝－c 代入双曲线方程，得c2 a2 －y2 b2 ＝1，所以y2 b2 ＝c2 a2 － 1＝b2 a2 ，所以 y＝±b2 a .因为 sin∠MF2F1＝1 3 ，所以 tan∠MF2F1＝|MF1| |F1F2| ＝ b2 a 2c ＝ b2 2ac ＝ c2－a2 2ac ＝ c 2a － a 2c ＝e 2 － 1 2e ＝ 2 4 ，所以 e2－ 2 2 e－1＝0，所以 e＝ 2.故选 A. 2．[2014·全国卷Ⅰ]已知 F 为双曲线 C：x 2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则 点 F 到 C 的一条渐近线的距离为(　　) A. 3 B．3 C. 3m D．3m 答案　A 解析　由题意知，双曲线的标准方程为 x2 3m －y2 3 ＝1，其中 a2＝3m，b2＝3， 故 c＝ a2＋b2＝ 3m＋3，不妨设 F 为双曲线的右焦点，故 F( 3m＋3，0)．其 中一条渐近线的方程为 y＝ 1 m x，即 x－ my＝0，由点到直线的距离公式可得 d＝ | 3· m＋1| 1＋(－ m)2 ＝ 3，故选 A. 3．[2015·全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x2 4 与直线 l：y＝kx＋ a(a>0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理 由． 解　(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(－2 a，a)或 M(－2 a，a)，N(2 a， a)． 又 y′＝x 2 ，故 y＝x2 4 在 x＝2 a处的导数值为 a，曲线 C 在点(2 a，a)处 的切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)， 即 ax－y－a＝0. y＝x2 4 在 x＝－2 a处的导数值为－ a，曲线 C 在点(－2 a，a)处的切线方 程为 y－a＝－ a(x＋2 a)， 即 ax＋y＋a＝0. 故所求切线方程为 ax－y－a＝0 和 ax＋y＋a＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分 别为 k1，k2. 将 y＝kx＋a 代入 C 的方程得 x2－4kx－4a＝0. 故 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 从而 k1＋k2＝y1－b x1 ＋y2－b x2 ＝2kx1x2＋(a－b)(x1＋x2) x1x2 ＝k(a＋b) a . 当 b＝－a 时，有 k1＋k2＝0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故∠OPM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意． [其它省市高考题借鉴] 4．[2016·四川高考]设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2＝2px(p>0) 上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值 为(　　) A. 3 3 B.2 3 C. 2 2 D．1 答案　C 解析　设 P( t2 2p ，t)，易知 F(p 2 ，0)，则由|PM|＝2|MF|，得 M(p＋ t2 2p 3 ，t 3)，当 t ＝0 时，直线 OM 的斜率 k＝0，当 t≠0 时，直线 OM 的斜率 k＝ t p＋ t2 2p ＝ 1 p t ＋ t 2p ， 所以|k|＝ 1 p |t| ＋ |t| 2p ≤ 1 2 p |t|· |t| 2p ＝ 2 2 ，当且仅当p |t| ＝ |t| 2p 时取等号，于是直线 OM 的斜 率的最大值为 2 2 ，选 C. 5．[2015·山东高考]平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) 的渐近线与抛物线 C2：x2＝2py(p>0)交于点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦 点，则 C1 的离心率为________． 答案　3 2 解析　由题意，双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax，抛物线的焦点坐标为 F (0，p 2).不妨设点 A 在第一象限，由Error!解得Error!或Error!故 A(2pb a ，2pb2 a2 ).所以 kAF＝ 2pb2 a2 －p 2 2pb a ＝4b2－a2 4ab .由已知 F 为△OAB 的垂心，所以直线 AF 与另一条渐近线 垂直，故 kAF·(－b a )＝－1，即4b2－a2 4ab ×(－b a )＝－1，整理得 b2＝5 4a2，所以 c2＝ a2＋b2＝9 4a2，故 c＝3 2a，即 e＝c a ＝3 2. 6. [2015·江苏高考]如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)的离心率为 2 2 ，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC＝2AB，求直线 AB 的方程． 解　(1)由题意，得c a ＝ 2 2 且 c＋a2 c ＝3， 解得 a＝ 2，c＝1，则 b＝1， 所以椭圆的标准方程为x2 2 ＋y2＝1. (2)当 AB⊥x 轴时，AB＝ 2，又 CP＝3，不合题意． 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2， y2)， 将 AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x2－4k2x＋2(k 2－1)＝0，则 x 1,2＝ 2k2 ± 2(1＋k2) 1＋2k2 ，C 的坐标为( 2k2 1＋2k2， －k 1＋2k2)，且|AB|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2＝ (1＋k2)(x2－x1)2＝2 2(1＋k2) 1＋2k2 . 若 k＝0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而 k≠0，故直线 PC 的方程为 y＋ k 1＋2k2 ＝－1 k(x－ 2k2 1＋2k2)，则 P 点的坐标 为(－2， 5k2＋2 k(1＋2k2))， 从而|PC|＝2(3k2＋1) 1＋k2 |k|(1＋2k2) . 因为|PC|＝2|AB|， 所以2(3k2＋1) 1＋k2 |k|(1＋2k2) ＝4 2(1＋k2) 1＋2k2 ， 解得 k＝±1. 此时直线 AB 的方程为 y＝x－1 或 y＝－x＋1. 一、选择题 1．[2015·陕西质检(一)]已知直线 l：x－y－m＝0 经过抛物线 C：y2＝2px(p>0) 的焦点，l 与 C 交于 A、B 两点．若|AB|＝6，则 p 的值为(　　) A.1 2 B.3 2 C．1 D．2 答案　B 解析　因为直线 l 过抛物线的焦点，所以 m＝p 2.联立Error!得，x2－3px＋p2 4 ＝ 0.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝3 2 ，故 选 B. 2．[2016·沈阳质检]已知 P 是双曲线x2 3 －y2＝1 上任意一点，过点 P 分别作双 曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，则PA → ·PB → 的值是(　　) A．－3 8 B. 3 16 C．－ 3 8 D．不能确定 答案　A 解析　令点 P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是 x 3 －y＝0， x 3 ＋y＝ 0，所以可取|PA|＝| x0 3 －y0| 1 3 ＋1 ，|PB|＝| x0 3 ＋y0| 1 3 ＋1 ，又 cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2 ∠AOx＝－cos π 3 ＝－1 2 ，所以PA → ·PB → ＝|PA → |·|PB → |·cos∠APB＝ |x20 3 －y20| 4 3 ·(－1 2 )＝3 4 × (－1 2 )＝－3 8 ，选 A. 3．[2016·南昌三模]已知抛物线 y 2＝2px(p>0)与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率 为(　　) A. 2＋2 B. 5＋1 C. 3＋1 D. 2＋1 答案　D 解析　本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点 F 的坐标为 (p 2 ，0)，又因为 AF⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为p 2 ，因为点 A 为抛物线与双曲线 的交点，不妨设点 A 位于第一象限，则 yA＝ 2pxA＝p，即点 A 的坐标为(p 2 ，p)， 又因为点 F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以 c＝p 2 ，则点 A 的坐标为(c,2c)， 代入双曲线的方程得c2 a2 －4c2 b2 ＝1，结合 c2＝a2＋b2，化简得 c4－6a2c2＋a4＝0，解 得双曲线的离心率 e＝c a ＝ 2＋1，故选 D. 4．[2016·黄冈质检]在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭圆上存在一点 M，满 足|MF1 → |＝2|MO → |＝2|MF2 → |，则该椭圆的离心率为(　　) A. 2 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 2 4 答案　C 解析　延长 MO 与椭圆交于 N，因为 MN 与 F 1F2 互相平分，则四边形 NMF1F2 为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＋|NF1|2＋|NF2|2，又|MF1| ＋|MF2|＝2|MF2|＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝2 3a，|NF2|＝|MF1|＝4 3a， |F1F2|＝2c，所以 (4 3a )2＋(2 3a )2＋(2 3a )2＋(2 3a )2＝(4 3a )2＋(2c)2，即c2 a2 ＝2 3 ， 故 e＝ 6 3 . 5．[2016·重庆测试]若以 F 1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线 y＝x－1 有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为(　　) A. 6 2 B.3 5 5 C.3 2 D. 3 答案　B 解析　由题意知 c＝3，∴e＝3 a ，∴a 越大 e 越小，而双曲线为x2 m － y2 9－m ＝1， 把直线 y＝x－1 代入化简整理得(9－2m)x2＋2mx－10m＋m2＝0，由 Δ＝0 得 m＝5， 于是 a＝ 5，e＝3 a ＝3 5 5 ，故选 B. 6．[2016·金版原创]在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)上一 点 A 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的一个焦点，与 y 轴相交于 B，C 两点，若△ ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A.( 6－ 2 2 ， 5－1 2 ) B.( 6－ 2 2 ，1) C.( 5－1 2 ，1) D.(0， 5－1 2 )答案　A 解析　本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系．利用直线与圆的位 置关系建立椭圆基本量的关系求解离心率．由题意可得，圆心 A(c，b2 a )，r＝b2 a ， 由三角形 ABC 是锐角三角形得∠BAC<90°，则 c＝r·cos ∠BAC 2 >r·cos45°，即 c> 2 2 r.又依题意 c0)，即x2 λ －y2 4λ ＝1，则有 4λ＋ λ＝25，解得 λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x2 5 －y2 20 ＝1. 8．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A， B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案　9 4 解析　易知直线 AB 的方程为 y＝ 3 3 (x－3 4)，与 y2＝3x 联立并消去 x，得 4y2 －12 3y－9＝0.设 A(x1，y1)， B(x2 ， y2) ， 则 y1 ＋ y2 ＝ 3 3， y1y2 ＝ － 9 4.S △ OAB ＝ 1 2|OF|·|y1 － y2| ＝ 1 2 ×3 4 (y1＋y2)2－4y1y2＝3 8 27＋9＝9 4. 9．[2015·山东莱芜一模]已知圆 G：x2＋y2－2 2x－2y＝0 经过椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点 M(m,0)(m>a)，倾斜角为2π 3 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点，若点 N(3,0)在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部，则 m 的取 值范围是________． 答案　(7 2 ，2 30 3 )解析　∵圆 G：x2＋y2－2 2x－2y＝0 与 x 轴，y 轴交点为(2 2，0)和(0,2)， ∴c＝2 2，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝12， ∴椭圆方程为x2 12 ＋y2 4 ＝1， 设直线 l 的方程为 y＝－ 3(x－m)(m>2 3)， 由Error!得 10x2－18mx＋9m2－12＝0. 由 Δ＝324m2－40(9m2－12)>0， 可得－2 30 3 0. 化简得 2m2－9m＋7>0，解得 m>7 2. ∴m 的取值范围是(7 2 ，2 30 3 ). 三、解答题 10．[2016·贵阳质检]设点 F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆 C：x2 a2 ＋y2＝1(a>1)的 左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且PF1 → ·PF2 → 的最小值为 0. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F1M⊥l，F2N ⊥l 分别交直线 l 于 M，N 两点，求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值． 解　(1)设 P(x，y)，则PF1 → ＝(－c－x，－y)，PF2 → ＝(c－x，－y)， ∴PF1 → ·PF2 → ＝x2＋y2－c2＝a2－1 a2 x2＋1－c2，x∈[－a，a]， 由题意得，1－c2＝0，c＝1，则 a2＝2， ∴椭圆 C 的方程为x2 2 ＋y2＝1. (2)将直线 l 的方程 l：y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程 x2 2 ＋y2＝1 中，得(2k2＋ 1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝ 0， 化简得 m2＝2k2＋1. 设 d1＝|F1M|＝|－k＋m| k2＋1 ，d2＝|F2N|＝ |k＋m| k2＋1 . ①当 k≠0 时，设直线 l 的倾斜角为 θ， 则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|， ∴|MN|＝ 1 |k|·|d1－d2|，∴S＝1 2· 1 |k|·|d1－d2|·(d1＋d2)＝ 2|m| k2＋1 ＝ 4|m| m2＋1 ＝ 4 |m|＋ 1 |m| ， ∵m2＝2k2＋1，∴当 k≠0 时，|m|>1，|m|＋ 1 |m|>2，即 S<2. ②当 k＝0 时，四边形 F1MNF2 是矩形，此时 S＝2. ∴四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2. 11．已知过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)(x1－1 且 a≠1，a≠2 时，交点有 2 个，圆有 2 个． 而当 a＝2 时，易验证有 2 个交点，圆有 2 个； 当 a＝1 时，易知交点有 1 个，圆有 1 个． 综上所述：当 a<－1 时，圆有 0 个； 当 a＝±1 时，圆有 1 个； 当 a>－1，且 a≠1 时，圆有 2 个． 解法二：设圆心 Q(x0，y0)(y20＝4x0)，P(a,2－a)，由于准线 l：x＝－1，故若 存在圆 Q 满足条件，则 r＝|PQ|＝ (x0－a)2＋(y0＋a－2)2，且 r＝|x0＋1|， ∴(x0－a)2＋(y0＋a－2)2＝(x0＋1)2， 即 a2＋y20＋2(a－2)y0＋(a－2)2＝(2＋2a)x0＋1＝(2＋2a)y20 4 ＋1， 整理得(1－a)y20＋(4a－8)y0＋4a2－8a＋6＝0　(*)， 当 a＝1 时，(*)式即－4y0＋2＝0，有 1 个解． 当 a≠1 时，(*)式中 Δ＝(4a－8)2－4(1－a)(4a2－8a＋6)＝16a3－32a2－8a＋40＝8(a＋1)(2a 2－6a ＋5)， ∵2a2－6a＋5＝2(a－3 2)2＋1 2>0， ∴当 a>－1 时，Δ>0，(*)式有 2 个解； 当 a＝－1 时，Δ＝0，(*)式有 1 个解； 当 a<－1 时，Δ<0，(*)式无解． 综上，当 a<－1 时，圆有 0 个； 当 a＝±1 时，圆有 1 个； 当 a>－1，且 a≠1 时，圆有 2 个． 12．[2016·山西太原二模]已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为1 2 ，以原 点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x－y＋ 6＝0 相切． (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(4,0)，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连 接 PB 交椭圆 C 于另一点 E，直线 AE 与 x 轴相交于点 Q，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，求OM → ·ON → 的取值范围． 解　(1)∵e＝c a ＝1 2 ，a2＝b2＋c2，∴b a ＝ 1－(1 2 )2＝ 3 2 .据另一个题设条件 得：b＝r＝ 6 12＋(－1)2 ＝ 3. ∴a＝2，∴椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设 B(x1，y1)，E(x2，y2)，据题意 A(x1，－y1)，且 y1≠0. 设直线 PB 的方程为 x＝my＋4，把它代入 x2 4 ＋y2 3 ＝1 并整理得(3m2＋4)y2＋ 24my＋36＝0，∴y1，y2 是该方程的两根， ∴y1＋y2＝－ 24m 3m2＋4 ，y1y2＝ 36 3m2＋4.(*) 直线 AE 的方程为 y＋y1＝－y1－y2 x1－x2 (x－x1)，令 y＝0 得点 Q 的横坐标 xQ＝x1y2＋x2y1 y1＋y2 . ∵x1＝my1＋4，x2＝my2＋4， ∴xQ＝ (my1＋4)y2＋(my2＋4)y1 y1＋y2 ＝2my1y2＋4(y1＋y2) y1＋y2 将(*)式代入得 xQ＝1. ①当直线 MN 与 x 轴不重合时，设直线 MN 的方程为 x＝ny＋1，并设 M(x3， y3)，N(x4，y4)． 把 x＝ny＋1 代入 3x2＋4y2＝12 整理得 (3n2＋4)y2＋6ny－9＝0，y3，y4 是该方程的两根， ∴y3＋y4＝－ 6n 3n2＋4 ，y3y4＝－ 9 3n2＋4.(**) OM → ·ON → ＝x3x4＋y3y4＝(ny3＋1)(ny4＋1)＋y3y4＝(1＋n2)y3y4＋n(y3＋y4)＋1， 把(**)代入并整理得 OM → ·ON → ＝－12n2＋5 3n2＋4 . ∵12n2＋5 3n2＋4 ＝4－ 11 3n2＋4 ∈[5 4 ，4)， ∴OM → ·ON → ∈(－4，－5 4]. ②当直线 MN 与 x 轴重合时，OM → ·ON → ＝2×2×cos180°＝－4. 综上所述，OM → ·ON → 的取值范围是[－4，－5 4].