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- 2021-06-03 发布
扶余市第一中学2017—2018学年度下学期期中考试
高二数学理科试卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。
第I卷 （选择题60分）
注意事项
1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．一个物体的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系可以用函数刻画,则该物体在秒末的速度是( )
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
2． 设为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数所在的象限（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限[]
3．用反证法证明“若整系数一元二次方程有有理数根，则中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（ ）
A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数
C．假设中至多有一个偶数 D．假设中至多有两个偶数
4．用“三段论”推理：任何实数的绝对值大于，因为是实数，所以的绝对值大于.你认为这个推理( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的
5．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A.在上是增函数
B.在上是减函数
C.当时取极大值
D.当时取极大值
6.函数的单调递减区间为 ( ）
A. B. C. D.
7.设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总可推出成立.那么下列说法正确的是（ ）
A.若成立，则成立
B.若成立，则成立
C.若成立，则当成立时，均有成立
D.若成立，则当成立时，均有成立
8.函数在上是增函数,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9.若函数，则与大小关系为（ ）
A. B.
C. D.不确定
10.曲线在点处的切线与直线围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
11.若，则下列判断正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
12. 已知当时，关于的方程有唯一实数解，则值所在的范围是( ) A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.
13．若是函数的一个极值点，则= ．
14．若复数满足，则的值为 ．
15．= ．
16．已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，三角形的面积为，若四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，类比三角形的面积可得四面体的体积为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
求曲线，直线，， 所围成的平面图形的面积.（画图并写出必要的计算过程）
18． （本小题满分12分）
当时，求证：.
19． （本小题满分12分）
在各项为正数的数列中，数列的前项和满足.
（1） 求；
（1） 由（1）猜想得到数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
19． （本小题满分12分）
已知函数(是常数).
（1） 求的单调区间与最大值;
（2） 设函数在区间（为自然对数底数）上的最大值为，求的值.
21．（本小题满分12分）
已知函数，（，为自然对数的底数）.
（1） 讨论的单调性；
（2） 当时，恒有不等式成立，则判断的大小关系并说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为的圆.
（1） 求曲线的普通方程，的直角坐标方程；
（2） 设为曲线上的点，为曲线上的点，求的最大值.
23.（本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1） 设的解集为集合，求集合；
（2） 已知为集合中的最大自然数，且（其中为正实数），
设，求证：.
高二数学期中考试答案
一． 选择题：
BDBAD，DDCCA，CB[]
二． 填空：
13. 14. 15. 16.
三． 解答题：
17. （图略）
交点坐标为或
18解:要证：只要证：
两边平方得，只要证：因为
所以原不等式得证
19.解（1）：
（2）由（1）猜想：
证明如下：（1）当时猜想成立
（2） 假设时，猜想成立，有成立，则当时
整理得：
时猜想成立，综上，
20.解：（1）的定义域为
令解得令解得
的单调递增区间为，的单调递减区间为
（2）
当时在单调递增，（舍）
当时，在单调递增，（舍）
当在单调递增，在单调递减解得：
综上：
21.（1）解：当时在单调递减
当时，令解得 令解得
所以在单调递减，在单调递增
当时，令解得 令解得
所以在单调递增，在单调递减。
综上所述：时在单调递减
时 在单调递减，在单调递增
时在单调递增，在单调递减.
（2） 不等式等价于恒成立
设设由于（1）知在单调递增，所以在单调递增
恒成立，即由单调性定义可知：
22.（1）解：普通方程为：
的直角坐标方程为：
（1） 设设圆心到的距离为，则
23.（1）解:由得：
所以
（2） 由（1）知因为是正实数
当且仅当时取等号.