- 1.27 MB
- 2021-06-03 发布
成都外国语学校2017-2018学年度高二上半期考试
数学试题(理科)
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。
2. 本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。
4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。
第Ⅰ卷（60分）
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的）。
1.设命题( )
A. B.
C. D.
2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A． B. C. D.
3.是直线与直线相互垂直
的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.过点,且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知曲线上的动点，向量和满足
，则曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知两定点,如果动点满足，则点的轨迹所表示的图形的面积等于（ ）
A． B. C. D.
8.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过点的直线与相交于两点，且 的中点为,则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.四棱柱中，与的交点为点，设，则下列与相等的向量是 ( ）
A． B． C． D．
10.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的
体积为（ ）
A. B. C. D.
第10题图
11.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知点是椭圆上位于第一象限内的任一点，过点作圆的两条切线（点是切点），直线分别交轴、轴于点，则的面积(是坐标原点)的最小值是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（90分）
1. 填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.
13.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 .
14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 . 15.若函数 没有零点，则实数的取值范围为 .
16.已知由直线：为给定的正常数，为参数，）构成
的集合为，给出下列命题：
l 当时，中直线的斜率为；
l 中的所有直线可覆盖整个坐标平面。
l 当时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等。
l 当时，中两条平行直线间的距离的最小值为。
其中正确的命题是___________.
三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。
17．（本小题满分10分）已知两直线，，当为何值时，与：（1）相交？ （2）平行？ （3）垂直？
18.（本小题满分12分）若,命题设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题是的充分不必要条件，求使且为真命题的的取值范围。
19.（本小题满12分）如图，在三棱锥 中，，，，平面平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
20.（本小题满12分）如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线，设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
21.（本小题满12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线 、，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于 两点．
（1）求证：直线 恒过定点；
（2）记直线的斜率分别为，当 取得最小值时，求点的坐标．
22.（本小题满12分）已知，两点分别在 轴和轴上运动，且，若动点满足．
（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；
（2）一条纵截距为的直线与曲线交于 两点，若以为直径的圆恰过原点，求出直线的方程；
（3）直线与曲线交于两点，，试问：当 t 变化时，是否存在一直线，使 的面积为？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．
成都外国语学校2017-2018学年度高二上半期考试
数学试题(理科)
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。
2. 本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。
4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。
第Ⅰ卷（60分）
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的）。
1.设命题( C )
A. B.
C. D.
2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ B ）
A． B. C. D.
3.是直线与直线相互垂直
的（ B ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.过点,且圆心在直线上的圆的方程为（ C ）
A. B.
C. D.
5.已知曲线上的动点，向量和满足，则曲线的离心率是（ A ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为（ C ）
A. B.
C. D.
7.已知两定点,如果动点满足，则点的轨迹所表示的图形的面积等于（ B ）
A． B. C. D.
8.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过点的直线与相交于两点，且的中点为,则的方程为（ B ）
A. B.
C. D.
9.四棱柱中，与的交点为点，设，则下列与相等的向量是 ( ）
A． B． C． D．
10.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ D ）
A. B. D. D.
11.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ B ）
A. B. C. D.
12.已知点是椭圆上位于第一象限内的任一点，过点作圆的两条切线（点是切点），直线分别交轴、轴于点，则的面积(是坐标原点)的最小值是（ A ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.
13.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程
为 ▲ . 或
14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为 .4
15.若函数 没有零点，则实数的取值
范围为 ▲ .
16.已知由直线：为给定的正常数，为参数，）构成
的集合为，给出下列命题：
l 当时，中直线的斜率为；
l 中所有的直线可覆盖整个坐标平面。
l 当时，存在某个定点，该定点到中所有的直线的距离均相等。
l 当时，中两条平行直线间的距离的最小值为。
其中正确的命题是___3,4________
三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。
17．（本小题满分10分）已知两直线，，当为何值时，与：（1）相交？ （2）平行？ （3）垂直？
解：（1）即，化简得，解得。(3分)
（2）由得。当时， 重合，不符合题意。故。（3分）
（3），得，解得。（4分）
18.（本小题满分12分）若,命题设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题是的充分不必要条件，求使且为真命题的的取值范围。
解：是方程的两个实根，，，，。
不等式对任意实数恒成立，成立即可。，
计算得出，。（5分）
，，，
是的充分不必要条件，
，得，。（4分）且为
真命题，。（3分）
19.（本小题满12分）如图，在三棱锥 中，，，，平面平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
（1）证明： 因为 且 ，
所以 ，
又 ，满足 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ．（5分）
（2） 取 中点 ，连 ，．
在 中， 且 ，
又 ，
所以 ，
在 中， 且 ，
由(1)知 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
在 中，，，
所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则由 得 ，
解得 。（7分）
19.（本小题满12分）如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线，设圆的半径为，圆心在上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
解：（1） 由题设，圆心 是直线 和 的交点，
解得点 ，于是切线的斜率必存在．
设过 的圆 的切线方程为
由题意，得
解得：
故所求切线方程为
（5分）
（2） 因为圆心在直线 上，所以圆 的方程为
设点 ，因为 ，所以
化简得
即
所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上．
由题意，点 在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，则
即
整理，得
由 ，得
由 ，得
所以点 的横坐标 的取值范围为 ．（7分）
(理) 21.（本小题满12分）已知抛物线，过点（其中）作互相垂直的两直线 、，直线与抛物线相切于点（在第一象限内），直线与抛物线相交于 两点．
（1）求证：直线 恒过定点；
（2）记直线的斜率分别为，当 取得最小值时，求点的坐标．
（1） 设直线 的斜率为 ，则 直线的方程为 ．
由 得 ．
由直线 与抛物线 相切，得 ，
解得 ，从而 点坐标为 ．
由 ，可设 的方程为 ，
整理，得 ，
故直线 恒过定点 ．（4分）
（2） 设 ，．
由 得 ，
则 ，．
而 ，
同理可得 ，所以
故当 时， 有最小值为 ，此时 ．（8分）
(文) 21.（本小题满12分）已知抛物线的焦点为，点．
（1）设是抛物线上的动点，求的最小值；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程．
（1） 设 ，所以 ，
则
所以当 时，．（4分）
（2） 方法一：
设直线 ，，，焦点 ，
由 消去 得 ．
由韦达定理可得
所以 的面积为
所以 ，所以直线 的方程为 ．（8分）
方法二：
若直线 的斜率不存在，则 ，，，
所以 的面积 ，不符合，
所以直线 的斜率必存在．
设直线 ，，，焦点 ．
由 消去 得 ．
由韦达定理可得
所以
到 的距离 ．所以 的面积
所以 ，所以直线 的方程为 ．
22.（本小题满12分）已知，两点分别在 轴和轴上运动，且，若动点满足．
（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；
（2）一条纵截距为的直线与曲线交于 两点，若以为直径的圆恰过原点，求出直线的方程；
（3）直线与曲线交于两点，，试问：当 t 变化时，是否存在一直线，使 的面积为？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．
解：（1） 因为 ．
即 ，
所以 ，，
所以 ，，
又因为 ，所以
即：，
即 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2） 直线 斜率必存在，且纵截距为 ，
设直线 为 ，
联立直线 和椭圆方程
得：，
由 ，得
设 ，
则 ，，
以 为直径的圆恰过原点，
所以 ，，
即 ，
也即 ，
即 ，
将 式代入，
得 ，
即 ，
解得 ，满足（）式，所以 ．
（3） 由方程组
得 ，
设 ，，
则 ，
，
所以
因为直线 过点 ，
所以 的面积
令 ，
则 不成立．
所以不存在直线 满足题意．