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- 2021-06-03 发布
天津一中2011—2012学年第一学期期中
高二数学试卷(理科)
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为
正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．3
2．已知正方体的外接球的体积为π，则该正方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．32
3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
A．至多只能有一个是直角三角形 B．至多只能有两个是直角三角形
C．可能都是直角三角形 D．必然都是非直角三角形
4．对于平面和直线，内至少有一条直线与直线（ ）
A．平行 B． 垂直 C．异面 D．相交
5．已知是两条不同直线,是三个不同平面，正确命题的个数是（ ）
①若，，则// ②若，，则//
③若，，则 ④若//，//，则//
⑤若//，//，则//
A
B
C
S
E
F
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，
那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
A． 90° B．45° C．60° D．30°
7．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
8．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．已知平行六面体，，，，是四边形的中心，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）
A．直线AB上
B．直线AC上
C．直线BC上
D．△ABC内部
二、填空题（每题4分，共24分）
11．中，，将三角形绕AC边旋转一周所成的几何体的体积为__________．
12．在△ABC中，C＝90°，AB＝8，B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝4，P′是AB边上动点，则PP′的最小值为 ．
13．如右图，E、F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．
14．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为 ．
15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于 ．
16．正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则点到截面的距离为 ．
三、解答题(共4题，46分)
17．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．
19．如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
20．如图，正四棱柱中，，点在上且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值大小．
参考答案：
一、选择题：
1．C 2．D 3．C 4．B 5．A
6．B 7．D 8．C 9．D 10．A
二、填空题：
11．
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题：
17．证明：
（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，
又
直线EF‖平面PCD
（2） F是AD的中点，
又平面PAD⊥平面ABCD，
所以，平面BEF⊥平面PAD。
18．
（1）证明：
设BC=1
P（0，0，2）
B（2，0，0）
D（0，2，0）
C（2，1，0）
M（1，，1）
∴PB⊥DM
（2）
设平面ADMN的法向量
取z=-1
设直线CD与平面ADMN成角为θ
19．
（1）BCFE ……………………1分
∴BCEF是□
∴BF//CE
∴∠CED或其补角为BF与DE所成角 ……………………2分
取AD中点P连结EP和CP
∵FEAP
∴FAEP
同理ABPC
又FA⊥平面ABCD
∴EF⊥平面ABCD
∴EP⊥PC、EP⊥AD
由AB⊥AD
PC⊥AD
设FA=a，则EP=PC=PD=a
CD=DE=EC=a
∴△ECD是正三角形
∴∠CED=60o
∴BF与DE成角60o ……………………2分
（2）∵DC=DE，M为EC中点
∴DM⊥EC
连结MP，则MP⊥CE
又DMMP=M
∴DE⊥平面ADM ……………………3分
又CE平面CDE
∴平面AMD⊥平面CDE ……………………1分
（3）取CD中点Q，连结PQ和EQ
∵PC=DQ
∴PQ⊥CD，同理EQ⊥CD
∴∠PQE为二面角的平面角 ……………………2分
在Rt△EPQ中，
∴二面角A-CD-E的余弦值为
方法二：
以A为原点以AB、AD、AF所在直线为x轴、y轴、z轴
设AB=1
A（0，0，0）
B（1，0，0）
C（1，1，0）
D（0，2，0）
E（0，1，1）
F（0，0，1）
M（，1，）
（1）
（2）
可得
∴CE⊥AM，CE⊥AD 又AMAD=A
∴CE⊥平面ADM，而，所以平面AMD⊥平面CDE
（3）平面CDE的法向量
所以cos<,>==
因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为
20．
以D为原点，分别以DA、DC、DD余弦值所在直线为x轴、y轴、z轴，建系如图所示
D（0，0，0）
A1（2，0，4）
B（2，2，0）
E（0，2，1）
C（0，2，0）
（1）
∴A1C⊥DB
A1C⊥DE
又DBDE=D
∴A1C⊥平面BDE
（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量
=（-2，2，-4）
设平面A1DE的一个法向量=（x，y，z）