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- 2021-06-03 发布
2016-2017学年甘肃省金昌市永昌一中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．一条射线 D．双曲线右边一支
2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1
3．把A，B，C，D 4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件“乙分得A牌”与事件“丁分得A牌”是（ ）
A．不可能事件 B．互斥但不对立事件
C．对立事件 D．以上答案都不对
4．“a＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，过点F1的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．有下列四个命题
①“若b=3，则b2=9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2+2x+c=0有实根”；
④“若A∪B=A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
8．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的点．若PF1⊥F1F2，∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．若直线y=3x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，2）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题P：∀x∈R，x2﹣x+≤0，则￢p： ．
14．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有 人．
15．椭圆 +=1内一点P（4，2），过点P的弦AB恰好被点P平分，则直线AB的方程为 ．
16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程．
18．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品，
（1）求恰好有一件次品的概率．
（2）求都是正品的概率．
（3）求抽到次品的概率．
19．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～
190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
21．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
2016-2017学年甘肃省金昌市永昌一中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．一条射线 D．双曲线右边一支
【考点】双曲线的定义．
【分析】由于动点P满足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|，那么不符合双曲线的定义（定义要求||PM|﹣|PN||＜|MN|），则利用几何性质易得答案．
【解答】解：因为|MN|=4，且|PM|﹣|PN|=4，
所以动点P的轨迹是一条射线．
故选C．
2．命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 D．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1
【考点】四种命题．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．
【解答】解：命题“若x2≤1，则﹣1≤x≤1”的逆否命题是
“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”．
故选：D．
3．把A，B，C，D 4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件“乙分得A牌”与事件“丁分得A牌”是（ ）
A．不可能事件 B．互斥但不对立事件
C．对立事件 D．以上答案都不对
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】由于事件“乙分得A牌”与事件“丁分得A牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件．但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
【解答】解：根据题意可得，事件“乙分得A牌”与事件“丁分得A牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件．
但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件，
故选B．
4．“a＞0”是“|a|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件．
【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．
【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，
∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件
故选A
5．已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，过点F1的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a，可求出在△AF1B的周长，则第三边的长度等于周长减另两边的和．
【解答】解：∵A，B两点在椭圆+=1上，
∴|AF1|+|AF2|=8，|BF1|+|BF2|=8
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16
∴|AF1|+|BF1|+|AB|=16
∵在△AF1B中，有两边之和是10，
∴第三边的长度为16﹣10=6
故选：D．
6．有下列四个命题
①“若b=3，则b2=9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2+2x+c=0有实根”；
④“若A∪B=A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出其逆命题，可判断①；写出否命题，举例即可判断②；由二次方程的判别式的符号，即可判断③
由集合的运算性质：A∪B=A，则A⊆B，即可判断原命题的真假，再由互为逆否命题的两命题的等价性，可判断④．
【解答】解：①“若b=3，则b2=9”的逆命题是“若b2=9，则b=3”，显然错的；
②“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等的三角形，其面积不相等”，
比如同底等高的三角形，面积相等，故②错；
③方程x2+2x+c=0的判别式为△=4﹣4c，若c≤1，则△≥0，故③对；
④若A∪B=A，则B⊆A，则命题“若A∪B=A，则A⊆B”为假命题，由逆否命题的等价性
可知其逆否命题也为假命题．
故选A．
7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．
【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e===，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=±x=x，
故选：D．
8．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给丙的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】若打电话的顺序是任意的，则基本事件总数n=3，由此能求出第一个打电话给丙的概率．
【解答】解：给甲、乙、丙三人打电话，
若打电话的顺序是任意的，则基本事件总数n=3，
∴第一个打电话给丙的概率是p=．
故选：B．
9．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的点．若PF1⊥F1F2，∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得xP=﹣c，代入椭圆方程求得P的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得xP=﹣c，
代入椭圆方程，解得yP=±b=±，
在直角三角形F1PF2中，
tan60°==，
即有b2=2ac，
即为a2﹣2ac﹣c2=0，
由e=，可得e2+2e﹣=0，
解得e=（负的舍去）．
故选：B．
10．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件m＞n的图形面积，及在区间[1，6]和[1，4]
内的点对应的面积，再代入几何概型计算公式求解．
【解答】解：如图，则在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，
依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3×5=15
其中满足m＞n，即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为：，
故m＞n的概率P=，
故选A．
11．若直线y=3x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线y=2x有交点，应有渐近线的斜率＞3，再由离心率e==，可得e的范围．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
由双曲线与直线y=3x有交点，则有＞3，
即有e==＞，
则双曲线的离心率的取值范围为（，+∞）．
故选：B．
12．命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，2）
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，则△＜0，解得a范围．命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，可得a＞1．若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则命题p与q一真一假．
【解答】解：命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，则△=a2﹣8＜0，解得．
命题q：函数f（x）=logax在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1．
若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则命题p与q一真一假．
∴或，
解得，或．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题P：∀x∈R，x2﹣x+≤0，则￢p： ∃x∈R，x2﹣x+＞0 ．
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：
∃x∈R，x2﹣x+＞0，
故答案为：∃x∈R，x2﹣x+＞0
14．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有 120 人．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】设出女教师的人数，用女教师人数表示出到会的总人数，根据从这些人中随机挑选一人表演节目，若选到女教师的概率为，列出方程，解出女教师人数，从而得到总人数．
【解答】解：设男教师有x人，
由题得=，
∴x=54，
∴2x+12=108+12=120．
故答案为：120．
15．椭圆 +=1内一点P（4，2），过点P的弦AB恰好被点P平分，则直线AB的方程为 x+2y﹣8=0 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得由中点坐标公式可得4=， =2，又kAB=．将A，B坐标代入椭圆方程，相减即可得到直线AB的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求直线方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由中点坐标公式可得，4=， =2，
又kAB=．
∵+=1， +=1．
∴两式相减可得， +=0．
∴+=0，
解得kAB=﹣．
∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣4），化为x+2y﹣8=0．
故答案为：x+2y﹣4=0．
16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．
【解答】解：由y2=2x，得F（，0），
设AB所在直线方程为y=k（x﹣），
代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=
结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）
解方程得k=±．
∴直线L的方程为．
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程．
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．
【分析】设出双曲线的方程，利用双曲线与椭圆有相同的焦点，求出参数，即可得出结论．
【解答】解：依题意可设所求的双曲线的方程为…
即…
又∵双曲线与椭圆有相同的焦点
∴λ+2λ=25﹣16=9…
解得λ=3…
∴双曲线的方程为…
18．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品，
（1）求恰好有一件次品的概率．
（2）求都是正品的概率．
（3）求抽到次品的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）把随机抽出两件产品恰好有一件次品这一事件列举出来，看方法数有多少，再列举总的方法数，两者相除即可．
（2）用列举法计算都是正品的情况，再除以总的方法数．
（3）用互斥事件的概率来求，先计算都是正品的概率，再让1减去都是正品的概率即可．
【解答】解：将六件产品编号，ABCD（正品），ef（次品），从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）．共有15种，
（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8
则P（A）=
（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6
则P（B）=
（2）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，
则P（C）=1﹣P（B）=1﹣
19．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即AB，即可得出．
【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．
由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即AB，
∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．
20．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
【考点】频率分布直方图．
【分析】（1）由频率分步直方图知样本中男生人数为2+5+13+14+2+4，全校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，知道每个个体被抽到的概率是0.1，得到分层抽样比例为10%估计全校男生人数．
（2）由图可知样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1，样本容量为70，得到样本中学生身高在170～185cm之间的频率．用样本的频率来估计总体中学生身高在170～180cm之间的概率．
（3）由题意知本题是一个古典概型，通过列举法看出试验发生包含的所有事件数，再从这些事件中找出满足条件的事件数，根据古典概型公式，得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，
由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；
（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，
∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，
故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，
求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，
∴所求概率p2=．
21．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．
【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，
∴x1+x2=
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9
∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，
∴x1=1，x2=4，
y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．
设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）
又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得3x2+4mx+2m2
﹣8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值．
【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），
∴由题意得，
解得a=2，b=2，
∴椭圆C的方程为．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，
△=96﹣8m2＞0，
∴﹣2＜m＜2，
∵x0==﹣，
∴y0=x0+m=，
∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，
∴（﹣）2+（）2=1，
∴m=±．