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- 2021-06-03 发布
2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高二（上）期中数学试卷
一.选择题（共12题，每题5分）
1．已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（ ）
A．2 B．3 C．2或4 D．2或3
2．已知f（x）=+ax，若f（ln3）=2，则f（ln）等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
4．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
7．已知在数轴上0和3之间任取一实数x，则使“log2x＜1”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在斜△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，A=，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
10．下列命题正确的是（ ）
A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件
B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”
C．函数的零点在区间内
D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
11．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题（共4题，每题5分）
13．设p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
14．数列{an}满足a1=2，且an+1﹣an=2n（n∈N*），则数列的前10项和为 ．
15．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| ．
16．过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为 ．
三.解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）已知命题p：∀x∈[0，1]，使恒成立，命题，使函数有零点，若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．
（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
（2）求证：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距离．
19．（12分）某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
回归方程为=bx+a，其中b=，a=﹣b．
（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；
（2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程=bx+a；
（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．
20．（12分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），函数f（x）=•+1．
（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣a，求角B的取值范围．
21．（12分）已知曲线E上任意一点P到两个定点和的距离之和为4，
（1）求动点P的方程；
（2）设过（0，﹣2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．
（1）若点P的坐标为 （1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．
2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共12题，每题5分）
1．已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（ ）
A．2 B．3 C．2或4 D．2或3
【考点】交集及其运算．
【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．
【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}，
若A∩B≠∅，则a=2或a=3，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．已知f（x）=+ax，若f（ln3）=2，则f（ln）等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】利用函数的解析式求出f（x）+f（﹣x）的值，然后求解f（ln）．
【解答】解：因为，
所以．
∵，
∴．
故选：B．
【点评】
本题考查函数的奇偶性的性质的应用，函数值的求法，考查计算能力．
3．设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明．
【解答】解：①由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确．
②设三棱柱的三个侧面分别为α，β，γ，其中两条侧棱为m，n，显然m∥n，但α与β不平行，故②错误．
③∵α∥β∥γ，∴当m⊥α时，m⊥γ，故③正确．
④当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．
4．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．
【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），
即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图
依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，
因为是下半圆故可知（舍），故
当直线过（0，3）时，解得b=3，
故，
故选D．
【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
【考点】程序框图．
【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+
的值，利用裂项相消法易得答案．
【解答】解：由已知可得该程序的功能是
计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．
若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=．
∴a=4，
故选A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．
6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
【考点】线性回归方程．
【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
【解答】解：∵ =3.5，
=42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9.4×3.5+a，
∴=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．
7．已知在数轴上0和3之间任取一实数x，则使“log2x＜1”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】以长度为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：由log2x＜1，得0＜x＜2，区间长为2，
区间[0，3]长度为3，
所以所求概率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数的性质是解决本题的关键．
8．在斜△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，A=，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】由sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2sinC，利用正弦定理可得b=2c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：在斜△ABC中，∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，
∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C，
∴2sinBcosC=4sinCcosC
∵cosC≠0，
∴sinB=2sinC，
∴b=2c．
∵A=，
∴由余弦定理可得：a2=（2c）2+c2﹣2×2c2cos=5c2．
∵△ABC的面积为1，
∴bcsinA=1，
∴××sin=1，解得c2=1．
则a=．
故选：B．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列{an}可得： =d=n+为等差数列，即可得出．
【解答】解：由等差数列{an}可得： =d=n+为等差数列，
∵﹣=100，
∴+﹣=100，
∴10d=1，解得d=．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．下列命题正确的是（ ）
A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件
B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”
C．函数的零点在区间内
D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由充分必要条件的判定方法判断A；写出特称命题的否定判断B；由函数零点判定定理判断C；利用空间中的线面关系判断D．
【解答】解：已知实数a，b，由a＞b，不一定有a2＞b2，反之由a2＞b2，不一定有a＞b，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故A错误；
“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1≥0”，故B错误；
∵函数与y=均为实数集上的增函数，∴函数为实数集上的真数，
又，，∴函数的零点在区间内，故C正确；
设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或α∥β，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了函数零点判定定理，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
11．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据向量、的数量积为零，可得△PF1F2
是P为直角顶点的直角三角形．Rt△PF1F2中，根据正切的定义及，可设PF2=t，PF1=2t，由勾股定理，得出．利用椭圆的定义得到2a=PF1+PF2=3t，最后由椭圆离心率的定义可得此椭圆的离心率．
【解答】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF2=t，则PF1=2t
∴=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
12．直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：，求得A和B点坐标，求得丨AB丨=5，△PAB面积S=•丨AB丨•d=2，解得：d=，设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，代入椭圆方程，由△=0，即可求得m的值，根据点到直线的距离公式可知：这样到直线AB的距离为
的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个．
【解答】解：由题意可知：，解得：或，
设A（4，0），B（0，3），由条件可知：
若点P到直线AB的距离为d，
那么△PAB面积S=•丨AB丨•d=2，解得：d=，
设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，
∴，整理得：18x2+6mx+m2﹣16×9=0，
由△=0，即36m2﹣4×18（m2﹣16×9）=0，整理得：m2=288，解得：m=±12，
∴切线方程l1：3x+4y+12=0，切线方程l2：3x+4y﹣12=0，
由直线l1与直线=1的距离d1==（+1）＞，
同理直线l2与直线=1的距离d2==（﹣1）＞，
∴这样到直线AB的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个，
故选D．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题，
二.填空题（共4题，每题5分）
13．设p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解绝对值不等式|4x﹣3|≤1，我们可以求出满足命题p的x的取值范围，解二次不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，我们可求出满足命题q的x的取值范围，根据p是q的充分不必要条件，结合充要条件的定义，我们可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：命题p：|4x﹣3|≤1，即≤x≤1
命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1
∵p是q的充分不必要条件，
∴
解得0≤a≤
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，其中分别求出满足命题p和命题q的x的取值范围，是解答本题的关键．
14．数列{an}满足a1=2，且an+1﹣an=2n（n∈N*），则数列的前10项和为 ．
【考点】数列的求和．
【分析】由a1=2，且an+1﹣an=2n，利用“累加求和”方法可得an，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵a1=2，且an+1﹣an=2n，
∴n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n，当n=1时也成立，
∴an=2n．
∴=．
∴数列的前10项和==．
故答案为：．
【点评】本题考查了“累加求和”方法、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| 6 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点，C为AF2的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．
【解答】解：椭圆=1的a=6，
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，
=（+），可得B为AF1的中点，
=（+），可得C为AF2的中点，
由中位线定理可得|OB|=|AF2|，
|OC|=|AF1|，
即有||+||=（|AF1|+|AF2|）=a=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查向量的中点表示形式，同时考查中位线定理，运用椭圆的第一定义是解题的关键，属于中档题．
16．过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为 8x+25y﹣58=0 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，
∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．
∵M（1，2）恰为线段AB的中点，
∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，
∴直线AB的斜率为﹣，
∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．
故答案为8x+25y﹣58=0．
【点评】本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．
三.解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）（2016秋•桐城市校级期中）已知命题p：∀x∈[0，1]，使恒成立，命题，使函数有零点，若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：当x∈[0，1]时，，要使恒成立，需满足m≤．命题q：，当时，，，要使，函数有零点，即可得出m的取值范围．因为命题“p∧q”为真命题，所以p真，q真，进而得出．
【解答】解：命题p：当x∈[0，1]时，，要使恒成立，需满足m≤1；
命题q：，当时，
，，要使，函数有零点，需满足0≤m≤2，
因为命题“p∧q”为真命题，所以p真，q真，
所以0≤m≤1．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•桐城市校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．
（1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
（2）求证：MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距离．
【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证直线AB⊥平面AA1C1C，再根据面面垂直的判定定理，证得平面ABC1⊥平面AA1C1C．
（2）根据面面平行的判定定理，先证平面MND∥平面ABC1，再根据面面平行的性质定理，得出MN∥平面ABC1，
求M到平面ABC1的距离，则根据性质，等价转化为求N到平面ABC1的距离．作出点N作出平面ABC1的垂线，并根据相似求出垂线段的长度．
【解答】证明：（1）∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，
又三棱柱中，有AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，
又 AC∩AA1=A，
∴AB⊥平面AA1C1C，
∵AB⊂平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．
（2）取BB1中点D，∵M为B1C1中点，
∴MD∥BC1（中位线），
又∵N为AA1中点，四边形ABB1A1为平行四边形，
∴DN∥AB（中位线），
又MD∩DN=D，
∴平面MND∥平面ABC1．
∵MN⊂平面MND，
∴MN∥平面ABC1．
∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．
过N作NH⊥AC1于H，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，
∴NH⊥平面ABC1，
又根据△ANH∽△AC1A1
∴．
∴点M到平面ABC1的距离为．
【点评】考查空间中点、线、面位置关系的判断及证明，点面距离的求法（几何法、等积法、向量法等），属于中档题．
19．（12分）（2016秋•桐城市校级期中）某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
回归方程为=bx+a，其中b=，a=﹣b．
（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；
（2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程=bx+a；
（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．
（2）先求出、的值，可得和 的值，从而求得和，的值，从而求得线性回归方程．
（3）在回归方程中，令y=115，求得x的值，可得结论．
【解答】解：（1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．
（2）∵，，
∴=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380， =22+42+52+62+82=145，
∴==6.5， =50﹣6.5×5=17.5，
∴线性回归方程为 y=6.5x+17.5．
（3）令y=115，可得6.5×x+17.5=115，求得x=15，故预测销售额为115万元时，
大约需要15万元广告费．
【点评】本题主要考查线性回归问题，求回归直线的方程，以及回归方程的应用，属于中档题．
20．已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），函数f（x）=•+1．
（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣a，求角B的取值范围．
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式化简便可得出，由f（x）=便可得到，进而求出，根据cosx=即可求出cosx的值；
（2）根据正弦定理便可由2bcosA≤2c﹣a得出，而sinC=sin（A+B），带入化简即可得出cosB≥，从而求出B的取值范围．
【解答】解：（1）
=+1
=
=
=；
∵，∴；
又，∴；
∴；
∴
=
=
=；
（2）根据正弦定理，；
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
带入得：；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴；
即角B的取值范围为（0，]．
【点评】考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和差的正余弦公式，以及正弦定理，并熟悉余弦函数的图象．
21．（12分）（2012•密云县一模）已知曲线E上任意一点P到两个定点和的距离之和为4，
（1）求动点P的方程；
（2）设过（0，﹣2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．
【分析】（1）根据题中条件：“距离之和为4”结合椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，从而即可写出动点M的轨迹方程；
（2）先考虑当直线l的斜率不存在时，不满足题意，再考虑当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，设C（x1，y1），D（x2，y2），由向量和数量积可得：x1x2+y1y2=0，由方程组，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得k值，从而解决问题．
【解答】解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆
其中a=2，，则，
所以动点P的轨迹方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，设C（x1，y1），D（x2，y2），
∵，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，
∴y1y2=k2x1•x2﹣2k（x1+x2）+4，
∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0①
由方程组
得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
则，，
代入①，得，
即k2=4，解得，k=2或k=﹣2，
所以，直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．
【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的定义、向量的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
22．（12分）（2016秋•桐城市校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．
（1）若点P的坐标为 （1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a．由点P的坐标为 （1，），可得+=1，解出即可得出．
（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．
【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而△PQF2的周长为4a．
由题意，得4a=8，解得a=2．
∵点P的坐标为 （1，），∴+=1，
解得b2=3．
∴椭圆C的方程为+=1．
（2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．
∵P在椭圆上，∴ +=1，解得y0=，即P（c，）．
∵F1（﹣c，0），∴=（﹣2c，﹣），=（x1+c，y1）．
由=λ，得﹣2c=λ（x1+c），﹣=λy1，
解得x1=﹣c，y1=﹣，∴Q（﹣c，﹣）．
∵点Q在椭圆上，∴（）2e2+=1，
即（λ+2）2e2+（1﹣e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1