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- 2021-06-03 发布
数学（文科）试题
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 为虚数单位，复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．-1
2.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
4.等差数列的前项的和为，且与是方程的两根，则（ ）
A．10 B．15 C. 20 D．40
5.按照图如图所示的程序框图执行，若输出结果为，则处条件是（ ）
A． B． C. D．
6.下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）有两个互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱.
（2）四棱锥的四个侧面可以是直角三角形.
（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.
（4）圆锥的轴截面是所有过圆锥顶点的截面中面积最大的.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C. D．
8.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C. D．
9.函数的最小值为（ ）
A．1 B． C. D．2
10.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型 ————（斐波那契数列）：1,1,2,3,5,8,13,21……，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共8级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（ ）
A．20 B．34 C. 42 D．55
11.设双曲线的右顶点为，右焦点为 ，弦过且垂直于轴，过点、点分别作直线 、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数，则关于的方程（为实数)根个数不可能为（ ）
A．2 B．3 C. 4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13.某人午睡醒来，发现手表停了，他打开收音机，想听电台报时（假设电台是整点报时），则他等待试卷不多于10分钟的概率为 ．
14.已知点，点的坐标满足不等式组 ，则的取值范围是 ．
15.在中，，，，则 ．
16.已知定义在上的函数满足恒成立，且（为自然对数的底数），则不等式的解集为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）
17.（本小题满分12分）
为了调查黄山市某校高中学生是否愿意在寒假期间参加志愿者活动，用简单随机抽样方法从该校调查了80人，结果如下：
（1）若用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取5人，则应女生中抽取多少人？
（2）在（1）中抽取出的5人中任选2人，求“被选中的恰好是一男一女”的概率.
注：
18. （本小题满分12分）
已知中，，，，且是的中点.
（1）求的长；
（2）如图，点是以为圆心角的劣弧上任意一点，求的取值范围.
19. （本小题满分12分）
正方形的边长为2，，将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥.
（1）点在棱上，且，点在棱上，且，求证：平面；
（2）当为何值时，三棱锥的体积最大？并求出最大值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一个动点，的周长为6，且存在点使得为正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，且.若的斜率为，求四边形的面积.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：．
考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，直线 的参数方程是(是参数)
以原点为极点，为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和圆心 的直角坐标；
（2）求圆上的点到直线 距离的最小值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，且不恒为0.
（1）若为奇函数，求值；
（2）若当 时，恒成立，求实数的取值范围．
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数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题
1-5: BCCAD 6-10: ACDBB 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 15. 0 16.
三、解答题
17.（本小题满分12分）
其中恰好是一男一女的有6种：，
故所求概率是：.………………7分
（3）由题意：，
又，故有的把握认为“高中生是否愿意在寒假期间提供志愿者服务与性别有关”.………………12分
18.解：（1），
又，所以.………………5分
（2）设，，由题意：，
则在中，，………………9分
又，∴，又，即，
故.………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（1）证明:取的中点，连接，
在中，，∴，又平面，平面，∴平面.
在中，∵分别是的中点，∴，又平面，平面，∴平面，，平面，
所以平面平面，平面，∴平面.………………6分
（2）∵，∴平面，
∴
.
所以当时，三棱锥的体积最大为，………………10分
此时， .………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）设为椭圆的半焦距，依题意，有：解得，
∴.
故椭圆的方程为：.………………4分
（2）解：，又，则.
或，
∴.………………7分
，
∴.………………10分
∴，
故四边形的面积为.………………12分
21.（本小题满分12分）
解：（1）∵，∴.
又，∴由得：；∴由得：，
故的增区间是：；减区间是：.………………4分
（2）①由（1）可知：当时，是上的增函数，
∴当时，，
又当时，，∴.………………6分
∴.
将以上个式子两边分别相加得：
.………………8分
②构造函数，则.
∵，∴，则函数在上递减.
∴当时，.
又当时，，∴.………………10分
∴，
将以上个式子两边分别相加得：
.
综合①②得：.………………12分
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：（1）直线的普通方程为； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分
又，，
圆的普通方程为，即，
圆心的直角坐标为. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
（2）圆的半径，圆心到直线的距离，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分
又，圆上的点到直线距离最小值为2． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（1）因为，若为奇函数，则由，得，
又不恒为0，得． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
此时，符合为奇函数，所以． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
（2）当时，恒成立，即在时恒成立
故在时恒成立， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
即.
而，，所以． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分