2020届高三数学下学期第六次诊断考试试题 理（新版）新人教版 11页

‎2019学年度高三第六次诊断考试 数学（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上.‎ ‎2．本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题卡上完成，试卷上答题无效.‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设复数满足，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎2.若集合,为整数集，则集合中所有元素之和为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 3 D. 5‎ ‎3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重四斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，则金箠的重量为（ ）‎ A．15斤 B．14斤 C．13斤 D．12斤 ‎ ‎4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） ‎ ‎ A．6 B．9 ‎ ‎ C．12 D．18‎ ‎5.设满足约束条件，则的最小是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.‎ - 11 -‎ 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有（ 　）‎ ‎ A．70种 B．80种 C．100种 D．140种 ‎7.设曲线在处的切线方程为，则(　　)‎ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎8.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（ ）‎ ‎ A．0 B．1 ‎ ‎ C．2 D．3‎ ‎9.已知数列满足,则的前10项和等于( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎10.已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）‎ ‎ A.甲是工人，乙是农民，丙是军人 B.甲是农民，乙是军人，丙是工人 ‎ C.甲是农民，乙是工人，丙是军人 D.甲是军人，乙是工人，丙是农民 ‎11.已知点在双曲线上，A，B分别为双曲线的左右顶点，离心率为，若为等腰三角形，且顶角为，则 （ ）‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎12.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）‎ ‎ A．2 B．4 C. 6 D．8‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ - 11 -‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.二项式的展开式中的系数为 ；‎ ‎14.函数的最小值是　　　　； ‎ ‎15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________；‎ ‎16.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为 ___ __.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题12分）如图，在圆内接四边形中，.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值.‎ ‎18.（本小题12分）某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制.已知高三学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表.‎ 原始成绩 ‎85分及以上 ‎70分到84分 ‎60分到69分 ‎60分以下 等级 优秀 良好 及格 不及格 - 11 -‎ 为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人.‎ ‎（Ⅰ）求和频率分布直方图中的的值；‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；‎ ‎（Ⅲ）在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎19.（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，,,,是上的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ - 11 -‎ ‎20.（本小题12分）已知椭圆过点，离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分 ，求的值． ‎ ‎21.（本小题12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设，若对任意的，都有，求整数的最大值．‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号 ‎22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ 在直角坐标系中，直线过点，倾斜角为. 以坐标原点为极点，‎ - 11 -‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的参数方程（设参数为）和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎23．（本题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数的最小值为4．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若．‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A A B B A D C C D B B 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13．—10 14． 15． 16．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（1）在中，由余弦定理得 ‎ ，‎ 解得， （4分）‎ 注意到，‎ 可得. （6分）‎ - 11 -‎ ‎（2）在中，由余弦定理得 ‎，‎ 即 ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即. （10分）‎ ‎∴ .‎ 当且仅当，△BCD为等腰三角形时等号成立，‎ 即面积的最大值为. （12分）‎ ‎18.（1）由题意可知，样本容量，‎ ‎，‎ ‎∴. （4分）‎ ‎（2）不及格的概率为0.1，设至少有1人成绩是及格以上等级为事件，∴，故至少有1人成绩是及格以上等级的概率为；（8分）‎ ‎（3）原始成绩在80分以上的学生有人，优秀等级的学生有3人，‎ ‎∴的取值可为0,1,2,3；‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎. （12分）‎ ‎19．19.解:（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ - 11 -‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……………………5分 ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．‎ 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…‎ ‎=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），‎ 取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，‎ 即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），‎ 依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．……………9分 于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点（0，-1），离心率，‎ 所以，……………………2分 所以由，得……………………3分 所以椭圆的标准方程是……………………4分 ‎（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F作斜率为k直线l，所以直线l的方程是. ‎ - 11 -‎ 联立方程组 消去，得 显然 设点，， ‎ 所以，……………………7分 因为轴平分，所以. ‎ 所以……………………9分 所以所以 所以 所以 所以 所以……………………11分 所以 因为，‎ 所以……………………12分 21．1）当时，，定义域为．‎ ‎，令，可得．·······2分 列表：‎ - 11 -‎ 所以，函数的最小值为．·······5分 ‎（2）由题意对任意的恒成立，‎ 可得对任意的恒成立．‎ 即对任意的恒成立．‎ 记，得，·······6分 设，，则在是单调增函数，‎ 又，，且在上的图象是不间断的，‎ 所以，存在唯一的实数，使得，·······8分 当时，，，在上递减；‎ 当时，，，在上递增．‎ 所以当时，有极小值，即为最小值，·······10分 又，故，所以，‎ 由知，，又，，所以整数的最大值为3．·······12分 ‎22.解：（Ⅰ）∵直线过点，倾斜角为 ‎∴直线以为参数的参数方程为（为参数）......................3分 ‎∵曲线的极坐标方程为 ‎∴曲线的普通方程为........................................5分 ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得.............6分 - 11 -‎ 设两点对应的参数为 ‎∵点在曲线的左下方 ‎∴.....................................................8分 ‎∴........................................10分 ‎23.解：（Ⅰ）, ………………3分 所以，解得或. …………………………………5分 ‎（Ⅱ）由题意，.‎ 于是 ……………………7分 ‎ ‎ ‎， ……………………9分 当且仅当时等号成立，即，，时等号成立.‎ ‎ ……………………10分 - 11 -‎