2018-2019学年福建省福州市八县（市）协作校高一上学期期末联考数学试题（解析版） 16页

2018-2019 学年福建省福州市八县（市）协作校高一上学期期 末联考数学试题 一、单选题 1． ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值，即可得到结果. 【详解】 ， 故选：B 【点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式的应用，属于基础题. 2．已知平面向量 ， ，且 ，则实数 的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 因 为 平 面 向 量 ， ， 且 ， 所 以 =3x+3=0，x=－1，故选 C。 【考点】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量垂直的条件。 点评：简单题，两向量垂直，它们的数量积为 0. 3．下列各式中与 相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用二倍角公式及平方关系可得 ，结合三角函数的符号即 可得到结果. 【详解】 (3,1)a = ( ,3)b x= a b⊥  x 9 1 1− 9− (3,1)a = ( ,3)b x= a b⊥  a b⋅  , 又 2 弧度在第二象限，故 sin2＞0,cos2＜0， ∴ = 故选：A 【点睛】 本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考 查计算能力. 4．一个扇形的弧长与面积都是 5，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析： ，又 ，故选 D． 【考点】扇形弧长公式 5．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点 在单位圆上，又在角 的终边上，所以 ； 则 ；故选 C. 6．设 是两个单位向量，且 ，那么它们的夹角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件两边平方可得 ，代入夹角公式即可得到结果. 【详解】 由 ，可得： ， 2rad 3 2 rad 1rad 5 2 rad 1 , 5 22S lr S l r= = = ∴ =扇 扇 5 2l r radα α= ⇒ = θ 3 4,5 5  −   2sin 2 θ 1 10 1 5 4 5 9 10 3 4,5 5  −   θ 3cos 5 θ = − 2 311 cos 45sin 2 2 2 5 θ θ  − − −  = = = 又 是两个单位向量， ∴ ∴ ∴它们的夹角等于 故选：C 【点睛】 本题考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式， 以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围． 7．为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【答案】A 【解析】由题意化简可得 y sin3（x ），再根据函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变 换规律，可得结论． 【详解】 解：函数 y＝sin 3x+cos 3x sin（3x ） sin3（x ）， 将函数 y sin 3x 的图象向左平移 个单位，得 y sin3（x ）的图象． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了函数 y＝Asin（ωx+φ）+b 的图象变换规律问题，是基础题． 8．若点 在函数 的图像上，则 （ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】由已知利用对数的运算可得 tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的 运用化简即可求值． 【详解】 解：∵点（8，tanθ）在函数 y＝ 的图象上，tanθ ， ∴解得：tanθ＝3， ∴ 2tanθ＝6， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础 题． 9．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【解析】依题意有投影为 . 10．已知 ,则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式，化简条件及结论，再利用二倍角公式，即可求得结论． 【详解】 解：∵sin ，∴sin ， ∵sin sin cos（2α ）＝1﹣2sin2 1 故选：B． 【点睛】 本题考查三角函数的化简，考查诱导公式、二倍角公式的运用，属于基础题． 11．已知函数 若曲线 与直线 的交点中，相邻交 点的距离的最小值为 ，则 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数化简，根据曲线 y＝f（x）与直线 y＝1 的交点中，相邻交点的距离的最 小值为 ，即 ωx 2kπ 或 ωx 2kπ，k∈Z，建立关系，可得 ω 的值，即 得 f（x）的最小正周期． 【详解】 解：函数 f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R． 化简可得：f（x） sin（ωx ） ∵曲线 y＝f（x）与直线 y＝1 的相交，即 ωx 2kπ 或 ωx 2kπ，k∈Z， ∴（ ）+2kπ＝ω（x2﹣x1）， 令 k＝0， ∴x2﹣x1 ， 解得：ω ∴y＝f（x）的最小正周期 T ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题． 12．在直角梯形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ，点 在弧 上运动（如图）. 若 ，其中 ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示的坐标系，则 A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E （2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α ），由 λ μ 得，（cosα，sinα）＝ λ（2，1）+μ（﹣1， ），λ，μ 用参数 α 进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结 论． 【详解】 解：建立如图所示的坐标系， 则 A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5）， P（cosα，sinα）（0≤α ）， 由 λ μ 得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1， ） ⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ ⇒λ ， ∴6λ+μ＝6（ ） 2（sinα+cosα）＝2 sin（ ） ∵ ，∴sin（ ） ∴2 sin（ ）∈[2，2 ]，即 6λ+μ 的取值范围是[2，2 ]． 故选：D． 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中 档题． 二、填空题 13．若点 位于第三象限，那么角 终边落在第___象限 【答案】四 【解析】根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于 0，根据这两个都 小于 0，得到角的正弦值小于 0，余弦值大于 0，得到角是第四象限的角． 【详解】 解：∵点 位于第三象限， ∴sinθcosθ＜0 2sinθ＜0， ∴sinθ＜0， Cosθ＞0 ∴θ 是第四象限的角． 故答案为：四． 【点睛】 本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数 的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围． 14．已知 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】把已知的两个等式两边平方作和即可求得 cos（α﹣β）的值． 【详解】 解：由已知 sinα+sinβ＝1①， cosα+cosβ＝0②， ①2+②2 得：2+2cos（α﹣β）＝1， ∴cos（α﹣β） ， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础 题． 15 ． 在 中 ， 已 知 是 延 长 线 上 一 点 ， 若 ， 点 为 线 段 的 中 点 ， ，则 _________． 【答案】 【解析】通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出． 【详解】 解：∵ （ ） ） （ ） ， ∴λ ， ∴ 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 16．给出下列命题： ①存在实数 ,使 ； ②函数 是偶函数； ③若 是第一象限的角，且 ，则 ； ④直线 是函数 的一条对称轴； ⑤函数 的图像关于点 成对称中心图形. 其中正确命题的序号是__________. 【答案】④⑤ 【解析】根据两角和与差的正弦公式可得到 sinα+cosα sin（α ）结合正弦函数的 值域可判断①； 根据诱导公式得到 ＝sinx，再由正弦函数的奇偶性可判断②； 举例说明该命题正误可判断③；x 代入到 y＝sin（2x π）得到 sin（2 π）＝ sin 1 ， 根 据 正 弦 函 数 的 对 称 性 可 判 断 ④ ； x 代 入 到 得 到 tan （ ）＝0，根据正切函数的对称性可判断⑤. 【详解】 对于①，sinα+cosα sin（α ） ，故①错误； 对于②， ＝sinx，其为奇函数，故②错误； 对于③，当 α 、β 时，α、β 是第一象限的角，且 α＞β，但 sinα＝sinβ ，故③ 错误； 对于④，x 代入到 y＝sin（2x π）得到 sin（2 π）＝sin 1，故命题④正 确； 对于⑤，x 代入到 得到 tan（ ）＝0，故命题⑤正确. 故答案为：④⑤ 【点睛】 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值问题， 是综合性题目． 三、解答题 17．平面内给定三个向量 ， ， ． (1)求满足 的实数 (2)若 ，求实数 . 【答案】（1） ；（2）11 【解析】（1）利用向量的坐标运算和平面向量基本定理即可得出； （2）利用向量共线定理即可得出. 【详解】 (1) 由题意得， ， ∴ 解得， (2) ∵向量 ， ， ． ∴ 则 时， 解得： 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、平面向量基本定理、向量共线定理，考查了计算能力，属 于基础题． 18．已知： ． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）利用诱导公式及商数关系得到结果； （2）利用两角和与差正切公式可得答案. 【详解】 （1）∵ ，则 ∴ （2）∵ ∴ 解得： ∴ 【点睛】 本题考查了三角函数式的化简求值；熟练运用两角和与差的正切公式是解答的关键． 19．已知函数 (1)求函数 的最小正周期和 在 上的值域； (2)若 ，求 的值 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式为 f（x）＝ ， 进而得到函数的周期与值域； （2）由(1)知 ，利用二倍角余弦公式可得所求. 【详解】 (1)由已知， ， ， ∴ 又 ，则 所以 的最小正周期为 在 时的值域为 ． (2)由(1)知， 所以 则 【点睛】 本题考查三角函数的图像与性质，考查三角函数的化简求值，考查恒等变形能力，属于 中档题. 20．函数 的一段图象如下图所示， (1)求函数 的解析式； (2)将函数 的图象向右平移 个单位，得函数 的图象，求 在 的单调增区间. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的 值，可得函数的解析式； （2）根据函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数 y＝f 2（x）的解析式，由 ，得到函数的单调增区间. 【详解】 （1）如图，由题意得， 的最大值为 2， 又 ,∴ ,即 ∴ . 因为 的图像过最高点 ，则 即 . （2）.依题意得： ∴由 解得： ，则 的单调增区间为 . 【点睛】 本题主要考查由函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标 求出 A，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值，函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 规律，正弦函数的单调性，属于中档题． 21．如图，在平行四边形 中， 分别是 上的点，且满足 ，记 ， ，试以 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题； （1）用 来表示向量 ； （2）若 ，且 ，求 ； 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）利用向量的线性运算，直接用基底表示向量； （ 2 ） 由 （ Ⅰ ） 可 知 ： ， ， 故 ，可得 即可求得求| |2，从而求得 | |． 【详解】 （1）∵在 中， ， ∴ （2）由（1）可知： ， ∴ ∵ 且 ∴ ∴ ∴ ， ∴ 【点睛】 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，考查计算能力，属于中档题． 22．已知向量 函数 （1）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （2）当 时，讨论函数 的零点情况. 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】（1）由题意得 ，结合不等式恒成立，建立 m 的不等式 组，从而得到实数 的取值范围； （2）)令 得： 即 ，对 m 分类讨论即可得到函 数 的零点情况. 【详解】 （1）由题意得， ， 当 时， ∴ ，又 恒成立，则 解得： (2)令 得： 得： ,则 . 由图知： 当 或 ，即 或 时，0 个零点； 当 或 ，即 或 时，1 个零点； 当 或 ，即 或 时，2 个零点； 当 ，即 时，3 个零点. 综上： 或 时，0 个零点； 或 时，1 个零点； 或 时，2 个零点； 时，3 个零点. 【点睛】 本题考查三角函数的图像与性质的应用，三角不等式恒成立问题，函数的零点问题及三 角函数的化简，属于中档题.