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- 2021-06-03 发布
卷13
一.填空题（每题5分，共70分）
1. 复数的虚部是
2．如,则实数的值等于
3. 若函数，则
4．等比数列中，表示前顶和，，则公比为
5．在集合中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 .
6．设为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若；②若∥∥，则∥；
③若；④若，
其中所有正确命题的序号是 ．
7．已知，则的最小值为
8．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有
① ② ③ ④
9．已知角A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，，且则
10．直线通过点,则的取值范围为
11．已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________．
12. 在区间上满足不等式的解有且只有一个，则实数
13． 在△中，，H在BC边上，则过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为
14. 已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值为
二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）
15.（14分）设函数的最大值为，最小值为，
其中．
（1）求、的值（用表示）；
（2）已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．求的值．
16. （14分）在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，分别是线段的中点，如右图．
（1）求证：平面ABCD；
（2）求证：平面∥平面．
17. （14分）如图，在一条笔直的高速公路的同旁有两个城镇，它们与的
距离分别是与，在上的射影之间距离为，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为万元/；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为万元．设计部门提交了以下三种修路方案：
方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；
方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点，并
在点修一个公共立交出入口；
方案③：从修一条普通公路到，再从修一条普通公路到
高速公路，也只修一个立交出入口．
请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．
18. （16分）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；
（2）设直线与轴、轴分别交于点，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．
19. （16分）对于数列，定义数列为的“差数列”.
（I）若的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出的一个通项公式；
（II）若的“差数列”的通项为，求数列的前n项和；
（III）对于（II）中的数列，若数列满足且，求：①数列的通项公式；②当数列前n项的积最大时n的值．
20. （16分）已知函数的图像在[a,b]上连续不断，定义：
，，其中表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”
（1）若，试写出，的表达式；
（2）已知函数试判断是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，
如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；
（3） 已知，函数是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围
附加题
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21.（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
22．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.
23．某中学选派名同学参加青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．
(Ⅰ)从“青志队”中任意选名学生，求这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率；
(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
活动次数
参加人数
24．用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为.
（1）试用数学归纳法证明：；
（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.
参考答案
一.填空题（每题5分，共70分）
1. 2．-1 3. 3 4．3 5． 6．①③ 7． 8．.④ 9．10．
11． 12. 13． 14. 56和9
二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）
15. 解（１） 由题可得而．．．．．．３分
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．６分
（２）角终边经过点，则．．．．．．．．．．１０分
所以，．．．．．．．．１４分
16. （14分）（1）证明：由题意可知，为正方形，
所以在图中，，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为，ABBC，
所以BC平面SAB， ………………………………3分
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，………………………………6分
（2）证明：连接BD，设， 连接，
正方形中，因为分别是线段的中点，所以，
且，……………………9分
又，所以：，所以
所以平面平面。……………………………12分
17. （14分）解：方案①：共修普通公路和两个立交出入口，
所需资金为万元；
方案②：取关于的对称点，连与交于，
在修一个出入口，则路程最短，共需资金：
万元；
方案③：连接沿修路，在修一个出入口，共需资金：
万元
由于，比较大小有，（12分）故选择方案（3）．
18. （16分）解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆： ，∴ ，
∴ ， ，∴．
（ⅱ）由及圆的性质，可得，∴∴
∴，．
（2）设0，则
, 整理得
∴方程为：，
方程为：．
从而直线AB的方程为：．令，得，令，得，∴，∴为定值，定值是.
19. （16分）（1）解：如（答案不惟一，结果应为
的形式，其中）
（2）解：依题意
所以
从面是公比数为2的等比数列，所以
（3）①解：由，两式相除得
所以数列分别是公比为的等比数列由
令
所以数列的通项为
②记数列前n项的积为T n .
令即
所以当n是奇数时，
从而
当n是偶数时，
从而
注意到
所以当数列前n项的积T n 最大时
20. 解：（1）由题意可得：，。
（2），，
当时，
当时，
当时，
综上所述，。
即存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
（3），令得或。
函数的变化情况如下：
x
0
2
-
0
+
0
-
0
4
令得或。
（i）当时，在上单调递增，因此，，。因为是上的“二阶收缩函数”，所以，
①对恒成立；
②存在，使得成立。
①即：对恒成立，由解得或。
要使对恒成立，需且只需。
②即：存在，使得成立。
由解得或。
所以，只需。
综合①②可得。
（i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立。
（i i i）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，显然当时，不成立。
综合（i）（i i）（i i i）可得：。
附加题
21．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，
即c＋d＝6； ………………………………………3分
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，
即3c－2d＝－2， …………………………………………6分
解得即A＝， …………………………8分
A逆矩阵是
22．解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即，它表示以为圆心，2为半径的圆，…………………………4分
直线方程的普通方程为，………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离，…………………………………………………8分
故直线被曲线截得的线段长度为． …………………10分
23、(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为
…………………………………………4分
…………………………………………5分
(Ⅱ)由题意知
……………………………………6分
……………………………………7分
……………………………………8分
的分布列：
0
1
2
…………………………………………10分
的数学期望: …………12分
24．解（1）：证明：
（ⅰ）当时，因为，，所以等式正确.
（ⅱ）假设时，等式正确，即，
那么，时，因为
，
这说明时等式仍正确.
据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确.
（2）易知，
①当为奇数（）时，，因为，所以，又
，所以；
②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.