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- 2021-06-02 发布
课时分层训练(五十七) 绝对值不等式
(对应学生用书第 238 页)
1．(2018·榆林模拟)已知函数 f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式 f(x)＋x2－4＞0 的解集；
(2)设 g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于 x 的不等式 f(x)＜g(x)的解集非空，求实数
m 的取值范围．
[解] (1)由题意，知 x－2＞4－x2(x≥2)或 x－2＜x2－4(x＜2)， 1 分
由 x－2＞4－x2(x≥2)得 x＞2；由 x－2＜x2－4(x＜2)，
得 x＜－1， 3 分
∴原不等式的解集为{x|x＞2 或 x＜－1}. 4 分
(2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|＜3m 的解集非空， 5 分
∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9， 8 分
∴3m＞9，∴m＞3. 10 分
2．若函数 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为 5，求实数 a 的值．
[解] 当 a＝－1 时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；
当 a＜－1 时，f(x)＝
－3x－1＋2a，x≤a，
x－1－2a，a＜x≤－1，
3x＋1－2a，x＞－1，
3 分
f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，
解得 a＝－6； 5 分
当 a＞－1 时，f(x)＝
－3x－1＋2a，x≤－1，
－x＋1＋2a，－1＜x≤a，
3x＋1－2a，x＞a，
7 分
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，
解得 a＝4. 9 分
综上所述，实数 a 的值为－6 或 4. 10 分
3．(2018·秦皇岛模拟)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集；
(2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
[解] (1)当 a＝－3 时，
不等式 f(x)≥3 化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)
若 x≤2 时，由(*)式，得 5－2x≥3，∴x≤1.
若 2＜x＜3 时，由(*)式知，解集为∅.
若 x≥3 时，由(*)式，得 2x－5≥3，∴x≥4.
综上可知，f(x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}. 4 分
(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)
当 1≤x≤2 时，(**)式化为 4－x－(2－x)≥|x＋a|，
解得－2－a≤x≤2－A． 8 分
由条件，[1,2]是 f(x)≤|x－4|的解集的子集，
∴－2－a≤1 且 2≤2－a，则－3≤a≤0，
故满足条件的实数 a 的取值范围是[－3,0]. 10 分
4．(2018·福建六校联考)已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式 f(x)≤6 的解集；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)－log2(a2－3a)＞2 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【导学号：79170379】
[ 解 ] (1) 原 不 等 式 等 价 于
x＞3
2
，
2x＋1＋2x－3≤6
或
－1
2
≤x≤3
2
，
2x＋1－2x－3≤6
或
x＜－1
2
，
－2x＋1－2x－3≤6，
1 分
解得3
2
＜x≤2 或－1
2
≤x≤3
2
或－1≤x＜－1
2
， 3 分
∴不等式 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤2}. 4 分
(2)不等式 f(x)－log2(a2－3a)＞2 恒成立⇔log2(a2 －3a)＋2＜f(x)恒成立⇔
log2(a2－3a)＋2＜f(x)min 成立，
∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4， 6 分
∴f(x)的最小值为 4，∴log2(a2－3a)＋2＜4， 7 分
即 a2－3a＞0，
a2－3a－4＜0，
解得－1＜a＜0 或 3＜a＜4， 9 分
∴实数 a 的取值范围为(－1,0)∪(3,4). 10 分
5．(2018·肇庆模拟)已知函数 f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋A．
(1)当 a＝0 时，解不等式 f(x)≥g(x)；
(2)若存在 x∈R，使得 f(x)≥g(x)成立，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)由 f(x)≥g(x)，
得|x＋1|≥2|x|，
两边平方，并整理得(3x＋1)(x－1)≤0， 2 分
解得－1
3
≤x≤1，
所以原不等式的解集为 x|－1
3
≤x≤1 . 4 分
(2)由 f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a，
即|x＋1|－2|x|≥A．
令 F(x)＝|x＋1|－2|x|，
依题意可得 F(x)max≥A． 5 分
F(x)＝|x＋1|－2|x|＝
1－x，x≥0，
3x＋1，－1＜x＜0，
x－1，x≤－1，
7 分
易得 F(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 9 分
所以当 x＝0 时，F(x)取得最大值 1.
故 a 的取值范围是(－∞，1]. 10 分
6．(2017·郑州质检)已知函数 f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式|x－1|＜f(x)；
(2)已知 m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤1
m
＋1
n(a＞0)恒成立，求实数 a 的
取值范围．
[解] (1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，
所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则 x＞－1
4
或 x＜－3
2
，
故原不等式的解集为 x|x＞－1
4
或 x＜－3
2 .4 分
(2)因为 m＋n＝1(m＞0，n＞0)，
所以1
m
＋1
n
＝(m＋n)
1
m
＋1
n ＝2＋m
n
＋n
m
≥4，
当且仅当 m＝n＝1
2
时，等号成立．
令 g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝
2x＋2＋a，x＜－2
3
，
－4x－2＋a，－2
3
≤x≤a，
－2x－2－a，x＞a，
8 分
则 x＝－2
3
时，g(x)取得最大值2
3
＋a，
要使不等式恒成立，只需 g(x)max＝2
3
＋a≤4.
解得 a≤10
3 .
又 a＞0，因此 0＜a≤10
3 . 10 分