2018-2019学年辽宁省六校协作体高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版 23页

绝密★启用前 辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若等差数列中，已知，，,则(    )‎ A． 50 B． 51‎ C． 52 D． 53‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，列方程，求出公差求，代入通项公式，由求出项数.‎ ‎【详解】‎ 等差数列中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式基本量运算，属于中档题. ‎ 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ ‎2．等比数列的前项和为，若、、成等差数列，则数列的公比等于（ ）‎ A． 1 B． C． D． 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差中项性质可得，再由等比数列的通项公式解方程可得.‎ ‎【详解】‎ 成等差数列，‎ 可得，‎ 即为,‎ 即有,‎ 化为，‎ 解得（舍去），故选C .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于简单题.‎ ‎3．在各项均不为零的等差数列中，若(n≥2，n∈N * )， 则 的值为(　　)‎ A． 2013 B． 2014‎ C． 4026 D． 4028‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等差数列中，,代入，化简可得为各项为2的常数列，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,又等差数列中，,‎ ‎,‎ 即为各项为2的常数列，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的基本概念与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.‎ ‎4．设等比数列的前n项和为，已知，则的值是( )‎ A． 0 B． 1‎ C． 2 D． 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据等比数列的前项公式求出，再由，求出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，不成立，不合题意，‎ 所以公比，解得，‎ 则，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式以及等比数列的前项和公式，涉及等比数列求和时，若公比为字母，需分类讨论，属于中档题.‎ ‎5．已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）‎ A． ， B． ，‎ C． ， D． ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，成等比数列，得到首项和公差的关系，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可判断和的符号.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为，‎ 则，‎ 由，，成等比数列，‎ 得，‎ 整理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式以及等比中项的应用，意在考查转化与划归思想的应用、考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎6．正项等比数列中,，则 的值是 A． 2 B． 5‎ C． 10 D． 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算法则，将原式化成，再利用等比数列的性质，对真数计算后即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 根据等比数列的性质，，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算法则以及等比数列的下标性质，属于中档题. 等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.‎ ‎7．设0＜b＜a＜1,则下列不等式成立的是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨令，代入各个选项检验，从而得到正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 不妨令，则有，故不正确；‎ ‎，故不正确；‎ ‎，故正确；‎ ‎，故不正确，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数、指数函数的单调性，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是—种简单有效的方法，属于中档题.‎ ‎8．已知不等式的解集为,则不等式的解集为(   )‎ A． 或 B． ‎ C． D． 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的解集为,可得的根为，‎ ‎，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.‎ ‎【详解】‎ 的解集为,‎ 的根为，‎ 即，，‎ 解得，‎ 则不等式可化为，‎ 即为，‎ 解得或，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出的值，是解答本题的关键.‎ ‎9．已知，,向量与的夹角为,则的值为 (   )‎ A． B． ‎ C． D． 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，,可求出，的模,根平面向量数量积公式与数量积的坐标表示列方程，解方程可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，,‎ 所以，‎ 由两个向量的数量积的定义得，‎ 即，‎ ‎，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积有两种形式，一是；二是.‎ ‎10．下列函数中，的最小值为4的是（  ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可.‎ ‎【详解】‎ 选项错误，可能为负数，没有最小值；‎ 选项错误，化简可得，‎ 由基本不等式可得取等号的条件为，即，‎ 显然没有实数满足；‎ 选项错误，由基本不等式可得取等号的条件为，‎ 但由三角函数的值域可知；‎ 选项正确，由基本不等式可得当，‎ 即时，取最小值，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎11．，满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则 的最小值为（  ）‎ A． 14 B． 7 C． 18 D． 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时，最大值为，然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当时， 的最小值为.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，‎ 得如图的及其内部，‎ 其中，‎ 设，‎ 将直线进行平移，‎ 当经过点时，目标函数达到最大值，‎ ‎，‎ 可得，‎ 因此，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即当且仅当时，的最小值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎12．有下列结论： ‎ ‎（1）命题 ，为真命题 ；‎ ‎（2）设 ，，则 p 是 q 的充分不必要条件 ；‎ ‎（3）命题：若，则或，其否命题是假命题；‎ ‎（4）非零向量与满足，则与的夹角为.‎ ‎ 其中正确的结论有（  ）‎ A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可判断（1）错误；由是的必要不充分条件可判断（2）错误；根据否命题与命题的否定可判断(3)正确；由向量加减法的平行四边形法则可判断(4)正确.‎ ‎【详解】‎ 对于（1），命题不成立，故（1）错误；‎ 对于（2） 或或，‎ 则是的必要不充分条件，故（2）错误；‎ 对于(3)命题：若，则或，的否命题是，若，则且为真命题，故(3)正确；‎ 对于（4）非零向量和满足，‎ ‎，由向量加减法的平行四边形法则可得，‎ 则与的夹角为，故(4)正确，‎ 即正确的结论有2个，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查全称命题、充分条件与必要条件、否命题以及平面向量加减法的平行四边形法，属于难题.‎ 这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意特殊值的应用，从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知命题, , ,命题，若命题 “且”是真命题,则实数的取值范围为 ___________.‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题是真命题时的范围，命题是真命题时的范围，然后求交集即可的结果.‎ ‎【详解】‎ 命题；，是真命题，因为；‎ 命题，是真命题，‎ 则，解得或，‎ 命题“且”是真命题，都是真命题，‎ 则实数的取值范围为或，故答案为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过且命题的真假，综合考查不等式恒成立问题以及特称命题，属于中档题. 解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎14．数列满足，．则数列的通项公式=____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，可得，利用等差数列的求和公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 可得 ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.‎ ‎15．已知满足不等式组，只过（1，0）时有最大值，求的取值范围 _____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论三种情况， ，，分别利用线性规划判断是否只过（1，0）时有最大值，从而可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当或时，表示的可行域为开放型区域,‎ ‎，在处有最小值，不合题意；‎ 当时，表示的区域如图所示，‎ 由图知，当时，在直线与直线的交点处取最大值，‎ 当时， 只在处有最大值，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.‎ ‎16．已知数列满足，对任意k∈N*，有，成公差为k的等差数列，数列的前n项和__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，成公差为的等差数列可求得,从而利用累加法可求得,代入，用分组求和与裂项相消法求和即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，成公差为1的等差数列，‎ 由于，故；‎ 同理可得当时，可以求得；‎ ‎，，‎ 将上述个等式相加得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的求和，“累加法”的应用，考查裂项法求和与分组求和，属于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cosC＝‎ ‎(1)求sinA的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先利用同角三角函数的基本关系，求出的值，再利用正弦定理求出的值；‎ ‎（2）先用余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式求解.‎ 试题解析：解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、正弦定理与余弦定理；3、三角形的面积公式.‎ ‎18．已知不等式的解集为(1，t)，记函数. ‎ ‎(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点； ‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为，，试将表示成以为自变量的函数，并求的取值范围；‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据不等式的解集为(1，t)证明，对于函数，由，可得必有两个不同零点；（2）化简等于，由不等式的解集为，可得有，化简 ‎，利用二次函数的性质可得的范围，从而求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知a＋b＋c＝0，且－ >1，a<0且 >1， ‎ ‎∴ac>0， ‎ ‎∴对于函数f(x)＝ax 2 ＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b) 2 ＋4ac>0，‎ ‎∴函数y＝f(x)必有两个不同零点． ‎ ‎(2)|m－n| 2 ＝(m＋n) 2 －4mn＝，‎ ‎， ‎ 由不等式ax 2 ＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知， ‎ 方程ax 2 ＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)， ‎ 由根与系数的关系知 ＝t， ‎ ‎∴，t∈(1，＋∞)． ‎ ‎∴|m－n|> ，∴|m－n|的取值范围为( ，＋∞)．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图象与性质，函数的零点与一元二次不等式的解集，属于中档题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用配方法求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地将二次函数写成顶点式.‎ ‎19．从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为 ‎ 甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5 ‎ 乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5 ‎ ‎（1）根据以上的茎叶图，不用计算说一下甲乙谁的方差大，并说明谁的成绩稳定； ‎ ‎（2）从甲、乙运动员高于8.1分成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于9.2分的概率. ‎ ‎（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率.‎ ‎【答案】（1）甲方差大，乙方差小，乙稳定（2）（3） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据茎叶图，结合甲乙两名运动员的成绩集中与分散程度，看出两个人的方差（或标准差),从而比较出两个人发挥的稳定性；（2）利用古典概型概率公式求出满足甲、乙运动员的成绩都不高于分的概型，利用对立事件的概率公式即可求出结果；（3）根据已知中甲运动员成绩均匀分布在之间，乙运动员成绩均匀分布在之间，我们可以求出它所表示的平面区域的面积，再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于分对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）甲方差大，乙方差小，乙稳定 ‎（2）设甲乙成绩至少有一个高于9.2分为事件 ,则 ‎ ‎ ‎ ‎（3）设甲运动员成绩为 ，则 乙运动员成绩为 ， ‎ ‎ ‎ 设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于 的事件为 ,则 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. ‎ 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎20．已知数列的前n项和为，且满足． ‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； ‎ ‎（2）数列满足，其前n项和为，试写出表达式.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，可得当时，两式相减，将看成整体，可得是等比数列，从而可求；(2)先求出的通项公式，然后根据通项公式的特征，利用错位相消法可求出数列的前项为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当 时， ； ‎ 当 时， ； ‎ 即 （ ），且 ，故 为等比数列 ‎ ‎（ ）. ‎ ‎（2）‎ 设 ① ‎ ‎ ② ‎ ‎① ②： ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ ‎“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，平面底面，为的中点， 是棱的中点， ,. ‎ ‎（1）求证:平面BDM； （2）D到面PBC距离；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接，由，可得以四边形为平行四边形，连接交于，连接，则，则根据线面平行的判定定理可知平面；(2)利用 可求得到面距离=；（3）由于平面底面，由面面垂直的性质定理可知底面，是三棱锥的高，且，又因为可看成和差构成，由此能求出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接 ，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形 ‎ 连接 交 于 ，连接 ，则 ， ‎ 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ‎ ‎（2） ，可得,可求得D到面PBC距离为 ‎ ‎（3） ， ‎ 由于平面 底面 ， 底面 ‎ 所以 是三棱锥 的高，且 ‎ 由（1）知 是三棱锥 的高， ， ， ‎ 所以 ，则 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求点面距离，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎22．设数列的首项，且，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若，数列中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．‎ ‎（Ⅲ）若是递增数列，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）成等差数列（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由，根据等比数列的定义可得结果；（II）利用（I）可得 ‎，进而得到，若中存在连续三项成等差数列，则必有，解出即可；(III )如果成立，可得，对分奇数、偶数两种情况讨论，即可得出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为，且，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎∴‎ 若中存在连续三项成等差数列，则必有，‎ 即 解得，即成等差数列． ‎ ‎（Ⅲ）如果成立，即对任意自然数均成立．‎ 化简得 ‎ 当为偶数时，，因为是递减数列，‎ 所以，即；‎ 当为奇数时，，因为是递增数列，‎ 所以，即； ‎ 故的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的定义、等差数列的定义以及数列的增减性，属于难题.判断数列是否为等比数列主要方法为：（1）为常数；（2）；（3）.‎