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- 2021-06-02 发布
江苏省苏北七市2020届高三第三次调研考试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则AB＝ ．
2．设复数z满足(3﹣i)z＝，其中i为虚数单位，则z的模是 ．
3．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．
4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是 ．
5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是 ．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线(a＞0)的左准线，则实数a的值是 ．
7．已知，，，均为锐角，则的值是 ．
8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是 ．
9．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是 ．
10．已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，
则的值是 ．
11．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是 ．
12．如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE＝CF．若，且DE＝，则的值是 ．
13．已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，﹣6)作直线交圆O：x2＋y2＝16于A，B两点， C(，)为弦AB的中点，则的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．
（1）求cosC的值；
（2）若A＝C，求sinB的值．
16．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⏊BC，D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：
（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；
（2）B1E∥平面ACD．
17．（本题满分14分）
某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2， 设∠BOC＝2．
（1）当时，求S2﹣S1的值；
（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos的值．（求导参考公式：(sin2x)'＝2cos2x，(cos2x)'＝﹣2sin2x）
18．（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线MN的斜率为时，求F1M＋F1N的值；
（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t，0)，求实数t的取值范围．
19．（本题满分16分）
已知是各项均为正数的无穷数列，数列满足(n)，其中常数k 为正整数．
（1）设数列前n项的积，当k＝2时，求数列的通项公式；
（2）若是首项为1，公差d为整数的等差数列，且＝4，求数列的前2020 项的和；
（3）若是等比数列，且对任意的n，，其中k≥2，试问：是等比数列吗？请证明你的结论．
20．（本题满分16分）
已知函数，，其中e是自然对数的底数．
（1）若函数的极大值为，求实数a的值；
（2）当a＝e时，若曲线与在处的切线互相垂直，求的值；
（3）设函数，若＞0对任意的x(0，1)恒成立，求实数a的取值范围．
江苏省七市2020届高三第三次调研考试
数学附加题
21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知mR，是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵．
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的方程为(r＞0)．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．
C．选修4—5：不等式选讲
已知x＞1，y＞1，且x＋y＝4，求证：．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．
（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X)；
（2）求恰好成功打开4扇门的概率．
23．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线与x轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．
参考答案
1．{﹣1，0，1，2} 2．1 3．5 4．55 5． 6． 7．
8． 9．9 10．﹣32 11． 12． 13．(27，) 14．[，)