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- 2021-06-02 发布
数学(文科)试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则下列式子表示正确的有（ ）
①；②；③；④
A．4个 B．3个 C． 2个 D．1 个
2. 命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3. 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知函数在上的图象是一条连续的曲线,且其部分对应值如下表:
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6
则函数的零点所在区间有（ ）
A．和 B．和
C. 和 D．和
5.过点与圆相切的两条直线的夹角为（ ）
A． B． C. D．
6.已知命题已知函数的定义域为，若是奇函数，则，则它的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 （ ）
A．0 B．2 C. 3 D．4
7. 已知数列满足，且，则（ ）
A．0 B．-3 C. -4 D．-7
8.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C. D．
9.下列函数是偶函数的是（ ）
①；②；③；④
A． ①② B．①③ C. ②④ D．①④
10.已知满足不等式组，若直线平分不等式组所表示的平面区域的面积，则的值为 （ ）
A． B． C. D．
11.已知是两个正实数，且，则有（ ）
A．最小值4 B．最大值4 C. 最小值2 D．最大值2
12.函数是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题 ,每小题5分.
13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 ．
14.已知两直线和的交点在第一象限,则实数的取值范围是 ．
15.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积，请问此田面积为 平方里.
16.已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，两曲线的离心率之积是两曲线在第一象限的交点，则 （用表示）.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
如图，四边形中，.
（1）求的长；
（2）求的大小.
18. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：不等式恒成立.
19. （本小题满分12分）
设等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的两焦点分别为，点是椭圆上的一动点，当的面积取得最大值1时，为直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是椭圆上的一点，则过点的切线的方程为.过直线上的任意点引椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线恒过定点.
21. （本小题满分12分）
已知点，动点是轴上除原点外的一点，动点满足，且与轴交于点，是的中点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，直线与关于轴对称，且交曲线于两点，试用表示四边形的面积.
22. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）已知，若与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDAAB 6-10: BDCAD 11、12：AC
二、填空题
13. 14. 15. 84 16. （或）
三、解答题
17.【解析】（1）由，…………………………………3分
得………………………………5分
（2）∵，∴，……………………………6分
由，……………………………8分
得，………………………9分
由小边对小角得…………………………………………10分
（2），由，得，………………………………7分
∵在上，在上，……………………………………………8分
∴在上是单调递增函数，在上单调递减函数，…………………………9分
∴函数的最大值为，………………………………………10分
∴在上恒成立，即在上恒成立………………………………12分
19.【解析】（1）∵，且，………………………1分
∴…………………………………………3分
，…………………………………………………5分
∴……………………………………6分
（2），…………………………………9分
……………………12分
20.【解析】（1）当在椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值，…………………2分
依题得，解得，∴……………………………………5分
∴椭圆的方程为……………………………………6分
（2）设，则直线的方程：，直线的方程：……………………………………………8分
设，∵直线均过点，∴，……………………
9分
即均满足方程，又知两点确定唯一的一条直线，故直线的方程为…………………………………………11分
显然直线恒过点………………………………12分
21.【解析】（1）设，，
∵，∴，即……………………………3分
又…………………………………………………………4分
∴，代入，得…………………………………6分
（2）联立直线与抛物线的方程得………………………………………7分
得，…………………………………9分
依题可知，四边形是等腰梯形，…………………………………………10分
∴
……………………………………………12分
22.【解析】（1）当时，……………………………2分
由，得，由，得…………………………4分
∴函数的单调递减区间为，（写成也正确）……………………………5分
（2）设，
所以，由，得或………………………6分
①当时，在上；在上 ；在上，，
∴在上是递增函数，在上是递减函数，
∴，…………………………………7分
与的图象有三个不同的交点等价于函数有三个不同的零点，
∴，解得…………………………………8分
②当时，在上；在上，在上，
∴在上是递增函数，在上是递减函数，…………………………9分
∴，
由于，因此只有一个零点，所以不合题意……………………………10分
③当时，
∵在上，∴在上是递增函数，所以只有一个零点，所以不合题意，…………………………………11分
综上，实数的取值范围为………………………………………12分