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- 2021-06-02 发布
张家港高级中学 2016~2017学年第二学期期中考试
高二理科数学试卷 20170413
命题人：杨宏胜
一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将正确结果填在相应横线上.）
1.复数的共轭复数是__________.
2. 若，则将用排列数符号表示为 .
3.求值＝__________.
4. 用反证法证明“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，应假设的内容
是 .
5. 如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是纯虚数，则实数m＝________.
6. 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于 .
7.二项式8的展开式中常数项等于 .
8.若，则＝ .
9. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为 .
10.若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a1＋a2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为 .
11. 在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．
12把正整数按一定的规则排成了如右下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为 .
13.对于命题：
若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.
将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.
将它类比到空间的情形应该是：
若O是四面体ABCD内一点，则有____ ．
14. 已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在上的最大值等于 .
二.解答题（本大题共6小题，计90分，请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤.）
15. （本小题14分）已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.
(1)求复数z；
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
16．（本小题14分）在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
17．（本小题15分）喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
(3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为，求的概率分布.
18. （本小题15分）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论.
19. （本小题16分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布.
20. （本小题16分）已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1.
(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范围．
张家港高级中学 2016~2017学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷参考答案
20170413
一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将正确结果填在相应横线上.）
1.复数的共轭复数是__________.
考点:复数的有关概念
2. 若，则将用排列数符号表示为 .
考点：排列数公式
3.求值＝__________.2
考点：组合数公式的应用
4. 用反证法证明“在1个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，应假设的内容
是 . 至多有1个锐角
考点：反证法
5. 如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是纯虚数，则实数m＝________.0或1
考点：复数的代数运算
6. 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于 .
考点：随机变量的概率分布
7.二项式8的展开式中常数项等于 .70
考点：二项式定理的应用
8.若，则＝ . 0.1875（或）
考点：二项分布
9. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为 .0.009
考点：独立事件的概率问题
10.若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a1＋a2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为 .20
考点：二项式系数的性质的应用
11. 在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．0.3
考点：古典概型问题
12把正整数按一定的规则排成了如右下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为 . 107
考点：数阵问题
13.对于命题：
若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.
将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.
将它类比到空间的情形应该是：
若O是四面体ABCD内一点，则有____ ．
VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0
考点：类比推理
14. 已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在上的最大值等于 .1－ln2
考点：用导数研究函数的最值
二.解答题（本大题共6小题，计90分，请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤.）
15. （本小题14分）已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.
(1)求复数z；
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
考点：复数的代数运算
15.解: (1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，…………3分
∵(1＋3i)z是纯虚数，
∴3－3b＝0且9＋b≠0， ………………………………6分
则b＝1，
从而z＝3＋i. ………………………………8分
(2)ω＝＝＝＝－i. …………11分
∴|ω|＝＝. ……………………14分
16．（本小题14分）在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
考点：二项式定理的应用
16.解(1)第3项的二项式系数为C＝15， ……………………2分
又T3＝C(2)42＝24·Cx， ……………………5分
所以第3项的系数为24C＝240. ………………7分
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，……………10分
令3－k＝2，得k＝1. ……………12分
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2. ……………14分
17．（本小题15分）
喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
(3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为，求的概率分布列.
考点：排列组合应用题，随机变量的概率分布
17.解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法． ………………4分
(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．……………8分
(3)
…………………………13分
的概率分布表如下： ………………15分
0
1
2
3
4
18. （本小题15分）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
考点：合情推理，数学归纳法
18.解 由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1， ……………2分
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. ………………6分
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立. ……………7分
②假设当n＝k时，结论成立，即
ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， …………………………9分
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，……………11分
bk＋1＝＝(k＋2)2. ……………13分
所以当n＝k＋1时，结论也成立. ……………14分
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立.……15分
19. （本小题16分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.
考点：随机变量的概率分布
19.解 (1)由已知，有
所以事件发生的概率为. ………………………………8分
(2)随机变量的所有可能取值为
…………………14分
所以随机变量的分布列为
………………………………16分
20. （本小题16分）已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1.
(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范围．
考点：导数的综合应用，不等式恒成立问题
20． (1)证明：f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna， ……………………2分
由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，ax－1>0，所以f′(x)>0， ………4分
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．……………………5分
(2)由(1)可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，
故函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．
所以，f(x)在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增． …………7分
所以f(x)min＝f(0)＝1， f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}， ……………………9分
f(－1)＝＋1＋lna，f(1)＝a＋1－lna，
f(1)－f(－1)＝a－－2lna，……………………11分
记g(x)＝x－－2lnx，g′(x)＝1＋－＝2≥0，
所以g(x)＝x－－2lnx递增，故f(1)－f(－1)＝a－－2lna>0，
所以f(1)>f(－1)，于是f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna， ……………………14分
故对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|max＝|f(1)－f(0)|＝a－lna，
a－lna≤e－1，所以1