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- 2021-06-02 发布
2021届高二期中考试（理科）数学试题
一、单选题（每题5分，共60分）
1.已知集合，则（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解出集合，根据并集的定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
2.设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题：，，则（ ）
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
【答案】C
【解析】
【分析】
“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
【详解】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：
：，．
故选：C．
【点睛】
命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
3.阅读如图所示的程序，则运行结果为（ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
按照顺序从上往下依次进行，最后求出运算的结果.
【详解】由题意知.
【点睛】本题考查了赋值语句、输出语句，掌握赋值语句的原则是解题的关键.
4.下列各函数中，最小值为2的是( )
A. B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对于选项A中的x来说，因为x不等于0，所以x大于0小于0不确定，所以最小值不一定为2；对于选项B和C中的函数来说，sinx大于0，而也大于0
，但是基本不等式不满足取等号的条件；从而可得结果．
详解】对于A：不能保证x＞0，
对于B：不能保证sinx=，
对于C：不能保证，
对于D：，
当时，最小值为2．
故选D
【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．
5.直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为 ( )
A. 9 B. 1 C. 4 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值
【详解】将点的坐标代入直线方程：，
，当且仅当时取等号
【点睛】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。
6.若是两条不同的直线，是三个不同的平面：①；②；③；④若,，则，则以上说法中正确的有( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】由是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：
对于①，， ，由线面垂直的判定定理得 ，故①正确；
对于②， ， ， ，则与平行或异面，
故②错误；
对于③， ，， ，由线面垂直的判定定理得 ，故③正确；
对于④，若 ， ，，则与相交或平行，故④错误，故选B.
7.函数在上的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.
8.已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】已知曲线，，
∴把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
9.已知函数的定义域是，求函数的定义域（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的范围,即可求得的定义域
【详解】由题,,设,,的定义域为
故选：B
【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题,属于基础题
10.点与位于异侧，则m的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由于点不在直线上,则将点代入直线方程中会得到大于0或小于0的不等式,由于两点位于直线两侧,则,解出不等式即可
【详解】由题,点与位于异侧,将两点分别代入直线方程中,则,即,
故选：A
【点睛】本题考查点与直线的位置关系,考查解不等式,考查运算能力
11.设向量满足，，，若，则（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得到,代入中,整理可得,再求,最后代回即可
【详解】由题,,则,
,,
,,
,
,
,
故选：B
【点睛】本题考查向量的模,考查向量的线性运算,考查数量积表示垂直关系,考查运算能力
12.一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别设绳子三段长为,,,均需满足大于0小于1,列不等式组可得出可行域为,再由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列出不等式组,可行域为,则面积比即为概率
【详解】由题,设绳子三段长为,,,则,则可行域为,,
由三角形三边性质可得,,则可行域为,其中分别为的中点,
故选：A
【点睛】本题考查面积型几何概型,考查二元一次不等式组得可行域,考查数形结合的思想
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知向量夹角为，且，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：的夹角，，，，.
考点：向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
【此处有视频，请去附件查看】
14.向边长为的正方形内随机投粒豆子，其中粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于的区域内（图中阴影区域），由此可估计的近似值为______.（保留四位有效数字）
【答案】3.149
【解析】
【分析】
根据已知条件求出满足条件的正方形的面积，及到顶点的距离不大于1的区域（图中阴影区域）的面积比值等于频率即可求出答案．
【详解】依题意得，正方形的面积，阴影部分的面积，
故落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率，
随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为：，
即有：，解得：，故答案为3.149．
【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量” （A），再求出总的基本事件对应的“几何度量” ，最后根据求解．利用频率约等于概率，即可求解。
15.现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00,01,02,……，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7（下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
规定从选定的数7开始向右读， 依次得到的样本为__________________
【答案】77,39,49,54,43,17
【解析】
【分析】
利用随机数表的性质，对选取的数一一判断即可.
【详解】找到第6行第5列的数开始向右读，第一个符合条件的是77，第2个数是94它大于79故舍去，所以第二个数是39，第三个数是49，
第四个数是54，第五个数是43，第六个数是54它与第四个数重复，故舍去，再下一个数是82比79大,故舍去，所以第六个数是17．
故答案为：77,39,49,54,43,17
【点睛】本题考查了随机数表的使用，注意取到的数不要重复，不要超出规定的号码，属于基础题.
16.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义求出函数的解析式，可得，可将对任意的均成立转化为对任意的恒成立，即可求解.
【详解】由题意得：当时，，所以是上的增函数且为奇函数，的解析式为.
由题意得成立，从而原不等式等价于对任意的
均成立，即对任意的恒成立
∴对恒成立
∴.
【点睛】本题主要考查利用奇函数求解析式的方法.解答本题的关键是利用转化思想，将对任意的均成立转化为对任意的恒成立.
三、解答题
17.记数列的前项和为，已知点在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(1)本题首先可根据点在函数的图像上得出，然后根据与的关系即可求得数列的通项公式；
(2)首先可根据数列的通项公式得出，然后根据裂项相消法求和即可得出结果。
【详解】(1)由题意知.
当时，；
当时，，适合上式.
所以.
(2).
则。
【点睛】本题考查根据数列的前项和为求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，与满足以及，考查计算能力，是中档题。
18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
1：1
2：1
3：4
4：5
【答案】（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为 ；（3）10
【解析】
【分析】
（1）根据频率之和为1，直接列式计算即可；
（2）平均数等于每组的中间值乘以该组频率，再求和；众数指频率最大的一组的中间值；中位数两端的小长方形面积之和均为0.5；
（3）根据题意分别求出，，，的人数，即可得出结果.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：,
（2）平均分为众数为65分.
中位数为
（3）数学成绩在的人数为，
在的人数为，
在的人数为，
在的人数为，
在的人数为，
所以数学成绩在之外的人数为100-5-20-40-25=10.
【点睛】本题主要考查样本估计总体，由题中频率分布直方图，结合平均数、中位数等概念，即可求解，属于基础题型.
19.设。
（1）求的单调增区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值。
【答案】（1）的单调递增区间是（2）
【解析】
【分析】
利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为；（1）令，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用为锐角和可求得；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.
【详解】
（1）令，解得：
的单调递增区间为：
（2）
，即
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
即面积的最大值为：
【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.
20.如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；
（Ⅱ）取、的中点、，连接、，证明出平面以及，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值.
【详解】（Ⅰ）证明：取的中点为，连接、.
、分别为、的中点，，且，
为的中点，且.
且，四边形为平行四边形，.
平面，平面，平面；
（Ⅱ）解：设的中点为，连接，
为等边三角形 ，∴
侧面都是正方形 ，，，
、平面且，平面，
平面，，，平面.
取中点为，连接，则.
以为原点，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图.
设，则、、，
，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
取平面的法向量为.则，
结合图形可知，二面角为锐角，其余弦值为.
【点睛】本题考查直线与平面平行判定，考查二面角的求解，证明直线与平面平行，常用以下三种方法：
①利用中位线平行证明线线平行；②证明四边形为平行四边形，利用对边平行得出线线平行；③证明面面平行，由面面平行得出线面平行.
21.如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线,分别与圆交于,两点．
（Ⅰ）若,，求的面积；
（Ⅱ）若直线过点，证明：为定值，并求此定值．
【答案】（I）；（II）证明见解析，．
【解析】
试题分析：（I）由题意，得出直线的方程为，直线的方程为，由中位线定理，得，由此可求解的面积；（II）当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程，利用根与系数的关系、韦达定理，即可化简得出为定值；当斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得：，，即可得到为定值．
试题解析：（Ⅰ）由题知，所以，为圆的直径，
的方程为，直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
所以，由中位线定理知，，
；
（Ⅱ）设、，
①当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程中有：
，整理得：，
则有，，
；
②当直线斜率不存在时，直线的方程为，
代入圆的方程可得：，，；
综合①②可得：为定值，此定值为．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法、定值的确定与计算、直线与椭圆的位置关系的综合应用，此类问题的解答中，把直线的方程代入圆锥曲线的方程，得到一元二次方程，利用判别式、根据系数的关系、韦达定理的合理运用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和分析问题和解答问题的能力，综合性强、运算量大，属于中档试题．
22.设，是函数的图象上任意两点，若为，的中点，且的横坐标为．
（1）求；
（2）若，，求；
（3）已知数列的通项公式（，），数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）2；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据中点坐标公式可知，所以，
，整理即可求得的值；（2）由第（1）问可知当时，为定值，观察可知共项，根据倒序相加法可知，，，和均为定值2，共个2，所以和为，即得到的值；（3）由可知，为等差数列乘等比数列，所以求数列的前n项和采用错位相减法，然后代入整理得到恒成立，所以只需，因此根据数列的单调性求出的最大值即可．本题以函数为背景，旨在考查数列的相关知识，考查倒序相加求和，错位相减求和，同时还考查不等式恒成立问题．综合性较强，考查学生对知识总体的把握能力．
试题解析：（1）由已知点M为线段AB中点， 则：
∴
（2）由（1），当时，有
故
∴
（3）由已知：
不等式即
也即，即恒成立
故只需
令
当时，
当时，，当时，
故；
故
∴，解得：
考点：（1）中点坐标公式；（2）倒序相加求和；（3）错位相减求和；（4）不等式恒成立．