2020高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 规范答题示例5 数列的通项与求和问题学案 3页

规范答题示例5　数列的通项与求和问题 典例5　(15分)已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝，n∈N*，Sn为{an}的前n项和．‎ ‎(1)求证：当n∈N*时，an>an＋1；‎ ‎(2)求证：当n∈N*时，2≤Sn－2n<.‎ 审题路线图　(1) ‎(2)―→―→‎ ―→ ―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 证明　(1)当n≥2时，‎ 因为an－an＋1＝－＝，2分 所以an－an＋1与an－1－an同号.3分 又因为a1＝4，a2＝，a1－a2>0，‎ 所以当n∈N*时，an>an＋1.5分 ‎(2)由条件易得‎2a＝6＋an，所以2(a－4)＝an－2，‎ 所以2(an＋1－2)(an＋1＋2)＝an－2，①‎ 所以an＋1－2与an－2同号．‎ 又因为a1＝4，即a1－2>0，所以an>2.8分 又Sn＝a1＋a2＋…＋an≥a1＋(n－1)×2＝2n＋2.‎ 所以Sn－2n≥2.10分 由①可得＝<，因此an－2≤(a1－2)× 第一步　‎ 找关系：分析数列的递推式，把握数列的项之间的关系；‎ 第二步　‎ 巧变形：根据所证式子的特点，对递推式灵活变形或适当放缩；‎ 第三步　‎ 凑结论：观察变形后的式子和欲证结论的联系，凑出最后结果.‎ 3‎ n－1，‎ 即an≤2＋2×n－1，12分 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an≤2n＋2 ‎＝2n＋<2n＋.‎ 综上可得，2≤Sn－2n<.15分 评分细则　(1)证出an－an＋1与an－1－an同号给3分．‎ ‎(2)证出an＋1－2与an－2同号给2分．‎ ‎(3)证出Sn－2n≥2给2分．‎ 跟踪演练5　(2018·温州高考适应性测试)已知正项数列{an}满足an＋1＝－2an－1，且an＋10，‎ 解得an>1或an<－7(舍去)，‎ 所以a1>1.‎ ‎(2)证明　方法一　要证明an＋10，‎ 因为an>1，上式显然成立，故an＋11，所以>2，‎ 上式显然成立，故an＋1