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- 2021-06-02 发布
2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高二（上）第一次月清数学试卷
一、选择题
1．等差数列{an}满足a2=12，an=﹣20，d=﹣2，则n=（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2
4．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．设x，y满足约束条件：，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣7
6．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（ ）
A． B．
C． D．
7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6=36，Sn=324，Sn﹣6=144，则n=（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
9．已知{an}、{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn，若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．无法确定
10．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
11．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
12．数列{an}是等比数列，a2=2，，则数列{anan+1}的前n项的和为（ ）
A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．设等比数列{an}的前n和为Sn，若S3=2，S6=18，则= ．
14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为 ．
15．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，则△ADC的面积S为 ．
16．已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈ ．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．
（1）求b的值；
（2）求sinC的值．
18．（12分）已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞1；
（2）若函数f（x）有最大值，求实数a的值．
19．（12分）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
20．（12分）在锐角三角形ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b2﹣a2﹣c2）sinAcosA=accos（A+C）．
（1）求角A；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
21．（12分）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c．数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{}前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？
22．（12分）已知函数：f（x）=3x2﹣2mx﹣1，g（x）=|x|﹣．
（1）解不等式f（x）≥﹣2；
（2）若对任意的x∈[0，2]，f（x）≥g（x），求m的取值范围．
2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高二（上）第一次月清数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．等差数列{an}满足a2=12，an=﹣20，d=﹣2，则n=（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】直接把已知条件代入等差数列的通项公式求解n的值．
【解答】解：在等差数列{an}中，a2=12，an=﹣20，d=﹣2，
则an=a2+（n﹣2）d，即﹣20=12﹣2（n﹣2），
解得n=18．
故选B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．
2．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．
【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，
则△ABC为等腰或直角三角形．
故选D
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2
【考点】复合命题的真假．
【分析】本题真假命题的判断与不等式性质有关，故可采用特值法．
【解答】解：A中取a=﹣1，b=﹣1，c=1，d=2可判断A为假命题；取a=1，b=﹣2可判断B、C为假命题；D中由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a2＞b2．
故选D
【点评】本题考查命题真假的判断和不等式的性质，特值法是一种常用方法．
4．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2=﹣ac，由余弦定理可得cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，
∵=，可得： =，整理可得：c2+a2﹣b2=﹣ac，
∴由余弦定理可得：cosB==﹣，
∵B∈（0，π），
∴B=．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5．设x，y满足约束条件：，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣7
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y的最小值．
【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，
经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，
由，解得，即C（1，8）．
将C（1，8）的坐标代入z=2x﹣y，得z=2﹣8=﹣6，
即目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣6．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
6．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（ ）
A． B．
C． D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】设AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，进而求得BD，同时在Rt△ABD中，可用x和α表示出BD，二者相等求得x，即AB．
【解答】解：设AB=x，则在Rt△ABC中，CB=
∴BD=a+
∵在Rt△ABD中，BD=
∴a+=，求得x=
故选A
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6=36，Sn=324，Sn﹣6=144，则n=（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据Sn﹣Sn﹣6=an﹣5+an﹣4+…+an求得an﹣5+an﹣4+…+an的值，根据S6=得a1+a2+…+a6的值，两式相加，根据等差数列的性质可知a1+an=a2+an﹣1=a6+an﹣5，进而可知6（a1+an）的值，求得a1+an，代入到数列前n项的和求得n．
【解答】解：∵Sn=324，Sn﹣6=144，
∴Sn﹣Sn﹣6=an﹣5+an﹣4+…+an=180
又∵S6=a1+a2+…+a6=36，a1+an=a2+an﹣1=a6+an﹣5，
∴6（a1+an）=36+180=216
∴a1+an=36，由，
∴n=18
故选D
【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差数列中若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq的性质．
8．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
【考点】基本不等式；等比数列的性质．
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，
，
当且仅当即时“=”成立，
故选择B．
【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
9．已知{an}、{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn，若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．无法确定
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意可得设{an}、{bn}的公差分别为d1，d2，令n=1可得a1=b1，令n=2可得5d1﹣6d2=2a1，令n=3时，可得3d1﹣4d2=a1，联立可解得d1=a1，，代入化简可得．
【解答】解：由题意可得设{an}、{bn}的公差分别为d1，d2
当n=1时，可得==1，即a1=b1，
当n=2时，可得===，
变形可得5d1﹣6d2=2a1，①
当n=3时，可得====，
变形可得3d1﹣4d2=a1②
联立①②可解得d1=a1，，
故可得====2
故选A
【点评】本题考查等差数列的性质，涉及一元二次方程组的求解，属中档题．
10．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．
11．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
【考点】其他不等式的解法．
【分析】根据不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1）可求出a、b的等量关系以及符号，然后解分式不等式即可．
【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），
∴a﹣b=0且a＜0则b＜0，
∵，
∴（ax+b）（x﹣2）＞0，即a（x+1）（x﹣2）＞0，
解得：﹣1＜x＜2，
∴不等式的解集为（﹣1，2）
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，以及等价转化的思想，同时考查了计算能力，属于中档题．
12．数列{an}是等比数列，a2=2，，则数列{anan+1}的前n项的和为（ ）
A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C． D．
【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．
【分析】由题意可得数列{an}的公比q，进而可得数列{anan+1}是8为首项，为公比的等比数列，代入求和公式可得．
【解答】解：由题意可得数列{an}的公比q，满足，
解之可得q=，故a1a2=4×2=8，
故可得==q2=，
故数列{anan+1}是8为首项，为公比的等比数列，
故其前n项和为： =．
故选C．
【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比关系的确定，属中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．设等比数列{an}的前n和为Sn，若S3=2，S6=18，则= 33 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】先根据题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求的值即可．
【解答】解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；
∵S3=2，S6=18，
∴，
∴q=2．
∴==．
故答案为：33．
【点评】本题主要考查了数列的性质和应用，解题时注意公式的灵活运用，属于基础题．
14．△
ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为 3 ．
【考点】余弦定理．
【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．
【解答】解：∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∵sinB=，cosB=，
∴可得=1﹣，解得：ac=13，
∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．
15．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，则△ADC的面积S为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出∠ADB的度数；代入三角形的面积公式计算．
【解答】解：在△BCD中，由正弦定理得： =，
即=，解得BD=3．
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB==
∴∠ADB=45°．
∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．
∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=，
∴S△ACD=•AD•CDsin∠ADC=×2××=，
故答案为：．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
16．已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈ （﹣3，3] ．
【考点】交集及其运算．
【分析】集合M表示以原点为圆心，3为半径的x轴上方的半圆，集合N中y=x+b表示一条直线，由M与N交集不为空集得到两函数有交点，抓住两个关键点，当直线与半圆相切时，以及直线过（3，0）时，分别求出b的值，即可确定出b的范围．
【解答】解：画出图形，如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到切线的距离d=r，即=3，
解得：b=3或b=﹣3（舍去）；
当直线过（3，0）时，将（3，0）代入直线解析式得：0=3+b，即b=﹣3，
则b∈（﹣3，3]．
故答案为：（﹣3，3]
【点评】此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2012•密云县一模）在△
ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．
（1）求b的值；
（2）求sinC的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；
（2）利用余弦定理表示出cosC，把a，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值即可．
【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，且a=2，c=3，cosB=，（2分）
代入得：b2=22+32﹣2×2×3×=10，
∴b=．
（2）由余弦定理得：cosC===，（10分）
∵C是△ABC的内角，
∴sinC==．（12分）
【点评】此题的解题思想是利用余弦定理建立已知量与未知量间的联系，同时要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值．
18．（12分）（2014秋•雅安期末）已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞1；
（2）若函数f（x）有最大值，求实数a的值．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）当a=2时，不等式即 2x2+x﹣2＞1，解得x的范围，可得不等式的解集．
（2）由题意，由此解得a的值．
【解答】解：（1）当a=2时，不等式即 2x2+x﹣2＞1，即2x2+x﹣3＞0，解得
，
故不等式的解集为．
（2）由题意，解得，
因此．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
19．（12分）（2014秋•兖州市期中）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）由已知a1+a2+a5=12得到3a1+3d=12，结合首项求得公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）把等差数列的通项公式代入bn=an+2n，分组后利用等差数列和等比数列的前n项和得答案．
【解答】解：（1）由a1+a2+a5=12，得3a1+3d=12，
又a1=2，
∴d=2．
则an=2n；
（2）bn=an+2n=2n+2n，
∴
=（2+4+…+2n）+（2+22+…+2n）
==2n+1+n2+n﹣2．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．
20．（12分）（2016秋•灵宝市校级月考）在锐角三角形ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b2﹣a2﹣c2）sinAcosA=accos（A+C）．
（1）求角A；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由余弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得﹣2accosBsinAcosA=﹣accosB，结合cosB≠0，可得sin2A=1，结合范围2A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用余弦定理，基本不等式可求bc≤=2+，当且仅当b=c时等号成立，进而利用三角形面积公式即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵（b2﹣a2﹣c2）sinAcosA=accos（A+C），
∴由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，
代入已知可得：﹣2accosBsinAcosA=accos（π﹣B）=﹣accosB，
又∵cosB≠0，
∴可得：sin2A=1，
∵A∈（0，），可得2A∈（0，π），
∴2A=，可得A=…6分
（2）∵a2=c2+b2﹣2accosA=2，即：b2+c2﹣bc=2，
∴bc=b2+c2﹣2，
∴bc≤=2+，当且仅当b=c时等号成立，
∴S△ABC=bcsinA≤×（2+）×=，当且仅当b=c时等号成立．
∴△ABC面积的最大值为…12分
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
21．（12分）（2012•常州校级模拟）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c．数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{}前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【分析】（1）先根据点（1，）在f（x）=ax上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c求出数列{an}的公比和首项，得到数列{an}的通项公式；由数列{bn}的前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=可得到数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{}的通项公式，再由bn=Sn﹣Sn﹣1可确定{bn}的通项公式．
（2）先表示出Tn再利用裂项法求得的表达式Tn，根据Tn＞求得n．
【解答】解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c=c，
∴a1=f（1）=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣
数列{an}是等比数列，应有=q，解得c=1，q=．
∴首项a1=f（1）=﹣c=
∴等比数列{an}的通项公式为=．
∵Sn﹣Sn﹣1==（n≥2）
又bn＞0，＞0，∴ =1；
∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+（n﹣1）×1=n
∴Sn=n2
当n=1时，b1=S1=1，
当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1
又n=1时也适合上式，
∴{bn}的通项公式bn=2n﹣1．
（2）==
∴
==
由，得，，
故满足的最小正整数为112．
【点评】本题考查了求数列通项中的两种题型：构造等差（等比）数列法，利用an，sn的关系求解．以及裂项法数列求和．与函数、不等式相联系，增加了综合性．要求具有综合分析问题，解决问题的能力．
22．（12分）（2013秋•七星区校级期中）已知函数：f（x）=3x2﹣2mx﹣1，g（x）=|x|﹣．
（1）解不等式f（x）≥﹣2；
（2）若对任意的x∈[0，2]，f（x）≥g（x），求m的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．
【分析】（1）f（x）≥﹣2可化为3x2﹣2mx+1≥0，△=4（m2﹣3），分类讨论：当△≤0时，当△＞0时即可得出．
（2），对任意的x∈[0，2]恒成立．分类讨论：当x=0时，直接验证；当0＜x≤2时， ⇔在x∈（0，2），利用基本不等式即可得出．
【解答】解：（1）f（x）≥﹣2可化为3x2﹣2mx+1≥0，△=4（m2﹣3），
①当△≤0时，即时，不等式的解为R；
②当△＞0时，即或时，，，
解得或；
此时不等式的解集为{x|或}．
（2），对任意的x∈[0，2]恒成立，
①当0＜x≤2时，，即在x∈（0，2）时恒成立；
∵，当x=时等号成立．
∴3≥2m+1，即m≤1；
②当x=0时，x∈R．
综上所述，实数M的取值范围是（﹣∞，1]．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．