- 2.61 MB
- 2021-06-02 发布
2018届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试
文科数学
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题时，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上. 本试卷满分150分，答题时间120分钟.
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数满足（为虚数单位），则复数的模
A. B. C. D.
【答案】A
故选A
2. 已知命题：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是
A. 命题是真命题 B. 命题是特称命题
C. 命题是全称命题 D. 命题既不是全称命题也不是特称命题
【答案】C
【解析】命题：实数的平方是非负数，是真命题，
故 是假命题，命题是全称命题，
故选C．
3. 已知函数的零点所在的区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
。
∴。
∴函数的零点所在的区间是。选C。
4. 在等差数列中，已知，，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d，
则，
∴。选C。
5. 设的内角的对边分别是，若，则为
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
【答案】B
【解析】由条件及正弦定理得
，
∴，
又，
∴，
∴。
所以为直角三角形。选B。
点睛：
判断三角形的形状有两种方法，一是转化为边判断，二是转化为角进行判断。在利用正弦、
余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系后再进行判断．
6. 下列函数中与图像完全相同的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选项A中，，所以两函数的解析式不同，故两函数的图象不同。
选项B中，，所以两函数的定义域不同，故两函数的图象不同。
选项C中，，所以两函数的定义域不同，故两函数的图象不同。
选项D中，, 所以两函数的定义域、解析式都相同，故两函数的图象相同。
选D。
7. 若，且，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴。选B。
8. 在中，，，是所在平面上的一点，若，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
。
∴
。选A。
9. 设函数，则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若，则 则
等价为 ，即 ，则
此时
当 时，
当 即 时，满足 恒成立，
当 即 时，
此时 恒成立，
综上
故答案为 选C
【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．
10. 将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像. 若对满足的，有，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得 ，设
由 ，可得 ，
解得
故选C．
11. 若函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：① 当时，；② 函数有个零点；③ 都有. 其中正确命题的个数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于①，当时，，所以，又是定义在上的奇函数，所以,因此，故①正确。
对于②，当时，由，得；当时，由，得；又。所以函数有个零点，故②正确。
对于③，当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增。
∴当时，取得最小值，且趋向时，趋向于0；
又，所以当时。
当时，，
∴在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减；
∴当x=2时，f(x)取最大值，且当趋向时，趋向于0；
又，所以当时。
∴的值域为。
∴都有.故④正确。
综上可得①②③都正确。选A。
点睛：本题将函数的性质、零点及函数的单调性、最值等问题融合在一起，考查学生应用所学知识解决问题的能力，本题中的①②较简单，解答③时应应用导数的知识求得函数的最值，进一步求得函数的值域，将恒成立问题转化为最值问题解决，实际上也是函数图象的应用。
12. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为：
，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项的和，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
， ．
故答案为．
故选D
【点睛】本题考查递推数列，考查学生分析解决问题的能力，其中根据递推公式正确迭代是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案直接填在题中横线上.）
13. 已知向量，向量，若，则实数的值为____________
【答案】2
【解析】由题
即答案为2
14. 已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】由题意， ，
∵集合 ，
①
②m 时，成立；
③
综上所述，
故答案为．
15. 某校今年计划招聘女教师人，男教师人，若满足，则该学校今年计划招聘教师最多_____________人.
【答案】10
【解析】可行域内正整数解为,所以 ,即学校今年计划招聘教师最多人
16. 函数的定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为___________
【答案】
【解析】试题分析：由题意得，当时，为单调递增函数，又，且，所以，即有，即．
考点：利用导数研究函数的单调性及其应用．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）
17. 中，内角所对的边分别为. 已知.
（1）求角；
（2）若，，设为边上的点，，求边及长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据条件得=，所以
，可得。（2）由余弦定理得，解得，从而，在，可得=。
试题解析：
（1）由已知得，
所以=,
所以,
又，
∴。
（2）在，
所以
整理得
解得.
在
又在，
所以==。
18. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）；（2）g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数.
【解析】试题分析：（1）求导数得，从而，又，根据点斜式可得切线方程为。（2）由题意可得，所以，结合导函数的符号可得函数的单调性。
试题解析：
（1）∵，
∴。
∴。
又，
所以曲线.
（2）令，
∴
令，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增。
综上可知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内单调递减，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）单调递增。
19. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求使得的的取值范围.
【答案】（1）最小正周期T=π，f（x）在 上单调递增；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用和与差以及二倍角公式，辅助角公式化简即可求函数 的最小正周期和单调减区间；
（2）根据三角函数平移变换的规律求解 的解析式，利用预先函数的性质可求使得的的取值范围.
试题解析：
（1）∵f（x）=-10sinxcosx + 10cos2 x=
=10sin+5.
∴所求函数f（x）的最小正周期T=π
所以函数f（x）在 上单调递增
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象
所以当
所以
所以
【点睛】本题考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键
20. 已知数列的前项的和，数列的前项的和满足，.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
【答案】（1）an＝n，；（2）.
【解析】试题分析：（1）（2）
试题解析：
(1)当n≥2时，。
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，
故数列{an}的通项公式为an＝n
当n≥2时，由4Tn＋4＝8，得4Tn-1＋4＝8，
两式相减得
即,
所以
又当n＝1时，4＋4＝8，解得＝1.
所以数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列，
∴。
（2），
①
②
①-②得
。
∴。
点睛：（1）根据求数列的通项时，不要忘了验证时的情况，并根据实际情况写出数列的通项公式。
（2）数列求和时，要根据数列通项公式的特点选择合适的方法，常用的求和方法有：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法。
21. 已知函数.
（1）求证：当时，函数在上，存在唯一的零点；
（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）（0，1）.
【解析】试题分析：（1）先证明函数在（0，+∞）上单调递增，再根据零点存在定理证明上存在零点即可。（2）“若存在，使得成立”转化为
“”，利用导数可得 ，从而由得，设g（a）=lna+a﹣1，由g（a）的单调性可得当0＜a＜1时，g（a）＜0，故所求范围为（0，1）。
试题解析：
（1）证明：∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又当a≤0时，，，
所以函数上存在唯一零点。
（2）由（1）得，
∵a＞0，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减。
∴在x=时取得最大值，且最大值为。
“存在”等价于
∴，
∴，
令g（a）=lna+a﹣1
∵g（a）在（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0。
∴a的取值范围为（0，1）。
点睛：（1）判断函数零点的唯一性时，可先判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数存在零点。对于判断函数零点个数的问题，可结合函数的极值情况作出判断。
（2）函数的存在性问题可转化为函数的最值问题处理，存“在，使得成立，等价于”， “在，使得成立，等价于”，当的最值不存在时，可用函数值域的端点值代替，但要注意等号能否取得。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）求圆被直线：所截得的弦长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）圆是将圆 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，由此可得圆的极坐标方程．
（2）将 代入圆的极坐标方程
，得 ，可得圆被直线：所截得的弦长．
试题解析：
（1）圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos（θ+）
（2）将θ=﹣ 代入圆C的极坐标方程ρ=4cos（θ+），得ρ=2，
所以，圆C被直线l：θ=所截得的弦长，可将θ=﹣代入极坐标方程求得为ρ=2．即弦长为2
23. 选修4-5：不等式选讲
已知都是实数，，.
（1）求使得的的取值集合；
（2）求证：当时，对满足条件的所有都成立.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用绝对值的意义化简函数 的解析式，由得 ，或 ．求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）求得当时，，则由题．根据绝对值不等式的性质即可得证
试题解析：
(1)f(x)＝
由f(x)>2得或
解得x<或x>.
所以所求实数x的取值范围为∪
(2)因为∪.
所以当时，
因为|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0成立，
所以≥f(x)．
又因为≥＝2，
所以|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)在时恒成立