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- 2021-06-02 发布
2017-2018学年山西省运城市高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（5分）已知点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．4
3．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若m∥l，m∥α，则l∥α B．若m⊥α，l⊥m，则l∥α
C．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β
4．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（ ）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
5．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4x=0的公切线条数（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．（5分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．8
7．（5分）若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）
A．（4，6） B．（6，+∞） C．（﹣∞，4） D．[4，6]
8．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（ ）
A．平面ABC必不垂直于α
B．平面ABC必平行于α
C．平面ABC必与α相交
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
10．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别 是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．8π B．6π C．11π D．5π
12．（5分）曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2x+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，+∞） C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．（5分）已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a= ．
14．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 ．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论正确的是 （填上所有你认为正确的结论的序号）．
①AC⊥BF②直线AE，BF所成角为定值③EF∥平面ABC④三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（10分）已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．
（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；
（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．
18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求点M到平面OCD的距离．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E是CC1上的中点，且BC=1，BB1=2．
（Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE
（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEA1的体积是，求异面直线AB和A1C1所成角的大小．
20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．
（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；
（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．
21．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）求证：平面CNB⊥平面CNB1；
（2）求直线BB1与平面CNB1所成角的正弦值．
22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．
2017-2018学年山西省运城市高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．
【解答】解：将已知直线化为y=，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为150°，
故选：D．
【点评】本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．
2．（5分）已知点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．4
【分析】先求出B（2，1，3），由此能求出|AB|．
【解答】解：∵点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，
∴B（2，1，3），
∴|AB|==2．
故选：A．
【点评】
本题考查两点间距离的求法，考查空间中关于x轴对称的点的坐标的求法、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若m∥l，m∥α，则l∥α B．若m⊥α，l⊥m，则l∥α
C．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β
【分析】利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答．
【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；
对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；
对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；
对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理，关键是熟练掌握定理．
4．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（ ）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，利用斜二测画法的长度关系即可得到结论
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，
∵O′A′=1，
∴原图形中OA=O′A′=1，对角线O′B′=，
则原图形中OB=2O′B′=2，且△OBC为直角三角形，
则OC==3，
则原图形的周长是2（3+1）=8，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中理解斜二测画法的规则，是解决本题的关键
5．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4x=0的公切线条数（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．
【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O2：x2+y2﹣4x=0的圆心（2，0），半径为2，
O1O2=1=2﹣1，∴两个圆内切，
所以圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4x=0的公切线条数：1．
故选：A．
【点评】本题考查两个圆的位置关系，两个圆相离公切线4条，相交2条，外切3条，内切1条．
6．（5分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．8
【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出．
【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S△PCD＞S△ABC．
由三视图特征可知PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=4，DB=2，
∴BC=4，∴S△ABC==8，S△PAC==8，S△BCD==4．S梯形PABD==12．
∴△BCD的面积最小．
故选B．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，多面体的面积计算，属于基础题．
7．（5分）若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）
A．（4，6） B．（6，+∞） C．（﹣∞，4） D．[4，6]
【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|1﹣r|＞1，解此不等式求得半径r的取值范围．
【解答】解：圆心（3，5）到直线4x+3y﹣2=0的距离等于=5，
由|1﹣r|＞5得r＞6，
故选：B．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及绝对值不等式的解法．
8．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（ ）
A．平面ABC必不垂直于α
B．平面ABC必平行于α
C．平面ABC必与α相交
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
【分析】讨论三个点的位置，可能在平面α的同侧，也可能在α的两侧，由此得出正确的结论．
【解答】解：平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，
则可能三点在α的同侧，即平面ABC∥α，
这时三条中位线都平行于平面α；
也可能一个点A在平面α一侧，
另两点B、C在平面α另一侧，
此时存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，
所以平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等时，
存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．
故选：D．
【点评】本题考查了空间直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．
9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+
（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，
∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，
化为24k2+50k+24=0，
∴k=或﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
10．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由题设条件，结合向量法求出CD的长．
【解答】解：如图，
∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，
AB=AC=1，BD=2，
∴，＜＞=120°，
∴=
=1+1+4+2×1×2×cos120°=4．
∴|CD|=．
故选：C．
【点评】本题考查线段长的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用，是中档题．
11．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别 是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．8π B．6π C．11π D．5π
【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．
【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．
∴球的半径为，
∴球的表面积为=6π．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．
12．（5分）曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2x+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，+∞） C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．
【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，
则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．
当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时1=﹣2k+4﹣2k，
解得k=，
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d==2，
解得k=，
要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，
则直线l夹在两条直线之间，如图所示：
因此＜k≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．（5分）已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a= ﹣2 ．
【分析】由直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，能求出a的值．
【解答】解：∵直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，
∴，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 100 ．
【分析】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，原几何体为：
一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．
因此该几何体的体积=3×6×6﹣
=108﹣8
=100．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三视图、长方体与三棱锥的体积计算公式，属于基础题．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论正确的是 ①③④ （填上所有你认为正确的结论的序号）．
①AC⊥BF②直线AE，BF所成角为定值③EF∥平面ABC④三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
【分析】①由AC⊥平面BDD1B1，证得AC⊥BF；
②可由两个极好位置说明两异面直线所成的角不是定值；
③由面面平行的定义可证得平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；
④可计算三棱锥A﹣BEF的体积为定值．
【解答】解：对于①，如图①，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F是线段B1D1上的两个动点，
∴AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD∩BB1=B，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，①正确；
对于②，异面直线AE、BF所成的角不为定值，
如图②，
当F与B1重合时，令上底面中点为O，
则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，
当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，
此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，②错误；
对于③，EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，③正确；
对于④，由图①知，AC⊥平面BDD1B1，
∴A到平面BEF的距离为，
又EF=，且B到EF的距离为1，
∴△BEF的面积为××1=，
∴三棱锥A﹣BEF的体积为××=为定值，④正确．
综上，正确的命题序号是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及正方体的几何性质与应用问题，是难题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 [﹣2，2] ．
【分析】由题意可得圆心为C（2，0），半径R=2；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，
即≤2，由此求得k的范围．
【解答】解：∵C的方程为x2+y2﹣4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2，
∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，
即≤2，解得k2≤8，可得﹣2≤k≤2，
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（10分）已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．
（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；
（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【分析】（1）求出P的坐标，求出l的斜率，代入点斜式方程整理即可；
（2）通过讨论得到直线l的斜率存在，由距离相等得到关于斜率k的方程，解出k的值，求出直线方程即可．
【解答】解：（1）由，解得P（2，1），
由于l与x+3y﹣1=0垂直，
则l的斜率为3，代入直线的点斜式方程得：y﹣1=3（x﹣2），
即3x﹣y﹣5=0；
（2）由（1）知直线l过P（2，1），
若直线l的斜率不存在，即x=2，此时，A，B的直线l的距离不相等，
故直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为：y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，
由题意得=，解得：k=﹣1或k=﹣，
故所求直线方程是：x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0．
【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线的位置关系以及点到直线的距离公式，是一道中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求点M到平面OCD的距离．
【分析】（1）取OB中点E，连结ME、NE，推导出ME∥CD，从而ME∥平面OCD，推导出EN∥OC，从而EN∥平面OCD，进而平面EMN∥平面OCD，由此能证明MN∥平面OCD．
（2）M到平面OCD的距离是点A到平面OCD距离的，取CD的中点为P，连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，从而AQ⊥平面OCD，线段AQ的长是点A到平面OCD的距离，由此能求出点M到平面OCD的距离．
【解答】证明：（1）取OB中点E，连结ME、NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD，
又ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，
∴ME∥平面OCD，
∵OB中点E，N为BC的中点，∴EN∥OC，
∵EN⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，
∴EN∥平面OCD，
∵EN∩EM=E，EN，EM⊂平面EMN，
∴平面EMN∥平面OCD，
∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD．
解：（2）∵M是OA的中点，∴M到平面OCD的距离是点A到平面OCD距离的，
取CD的中点为P，连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，
线段AQ的长是点A到平面OCD的距离，
∵OP===，AP=，
∴AQ===．
∴点A到平面OCD的距离为，
∴点M到平面OCD的距离为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E是CC1上的中点，且BC=1，BB1=2．
（Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE
（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEA1的体积是，求异面直线AB和A1C1所成角的大小．
【分析】（Ⅰ）连接BE，只需证明BE⊥B1E，且AB⊥B1E=B，即可得到B1E⊥平面ABE；
（Ⅱ）由V=V=V==，得AB=，异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，即可求解．
【解答】证明：（Ⅰ）连接BE，∵BC=1 BB1=2，E是CC1上的中点
△BCE，△B1C1E为等腰直角三角形，即，∴，即BE⊥B1E
∵AB⊥面BB1C1C．B1E⊂面ABC，∴B1E⊥AB，且AB∩BE=B，
∴B1E⊥平面ABE；
解：（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴A1、B1到面ABE的距离相等，
由（Ⅰ）得BE=B1E=
故V=V=V
==
解得AB=
∵AC∥A1C1，∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，
在Rt△ABC中，tan，∴∠CAB=30°
∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，考查了异面直线夹角的求法，属于中档题．
20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．
（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；
（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．
【分析】（1）由题意可得圆心C在AB的中垂线上，即C在直线x=﹣2上，与x﹣2y+4=0联立，可得圆心的坐标，进而得到半径r，求得圆心到直线x﹣y+1=0的距离，运用弦长公式计算可得|EF|；
（2）设M（x，y），M为PQ的中点，运用中点坐标公式，可得P的坐标，再将其代入圆C的方程，化简可得所求轨迹方程．
【解答】解：（1）由圆C与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0），
可得圆心C在AB的中垂线上，即C在直线x=﹣2上，与x﹣2y+4=0联立，
可得C（﹣2，1），半径r==，
则圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10，
圆心到直线x﹣y+1=0的距离d==，
则|EF|=2=2=4；
（2）设M（x，y），M为PQ的中点，
且Q（2，1），可得P（2x﹣2，2y﹣1），
由P在圆C上运动，将其坐标代入圆C的方程可得，
（2x﹣2+2）2+（2y﹣1﹣1）2=10，
即为x2+（y﹣1）2=．
则线段PQ中点M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=．
【点评】本题考查直线和圆相交的弦长求法，以及线段的中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）求证：平面CNB⊥平面CNB1；
（2）求直线BB1与平面CNB1所成角的正弦值．
【分析】（1）根据三视图可得BC⊥平面ANB1B，故而NB1⊥BC，根据俯视图和勾股定理逆定理可得B1N⊥BN，于是B1N⊥平面CNB，从而得出结论；
（2）过B作BH⊥CN，则BH⊥平面CNB1，于是∠BB1H为所求角．
【解答】（1）证明：∵几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BC，BA，BB1两两垂直，
∴BC⊥平面ANB1B，又B1N⊂平面ANB1B，
∴BC⊥B1N，
由正视图和俯视图可知AN=4，AB=4，BB1=8，
∴BN=B1N=4，
∴BN2+B1N2=BB12，即BN⊥B1N，
又BN∩BC=B，
∴B1N⊥平面CNB，
又B1N⊂平面CNB1，
∴平面CNB⊥平面CNB1．
（2）解：过B作BH⊥CN于H，连结B1H，
由（1）可知平面CNB⊥平面CNB1，又BH⊥CN，平面CNB∩平面CNB1=CN，
∴BH⊥平面CNB1，
∴∠BB1H为直线BB1与平面CNB1所成的角，
由正视图可知BC=4，在Rt△BCN中，CN==4，
∴BH===．
∴sin∠BB1H==．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．
22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，即可点P的坐标；
（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，即可得出结论；
（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，
所以MP=，解得
所以…4分
（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为：
即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0
由，…7分
解得或，所以圆过定点…9分
（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=
即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①
圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②
②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分
点M到直线AB的距离…13分
相交弦长即：
当时，AB有最小值…16分．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．