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- 2021-06-02 发布
民族中学2018-2019学年第二学期第一次月考试卷
高二文科数学
（满分：150分，考试时间：120分钟）
一．选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知函数f（x）＝ax+4，若，则实数a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2．若函数f（x）＝x2﹣，则f′（1）＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y关于x的线性回归方程是＝x+，则表中m的值为（ ）
x
8
10
11
12
14
y
21
25
m
28
35
A．26 B．27 C．28 D．29
4．设f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的递减区间为（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，2）
C．（﹣∞，﹣1），（2，+∞） D．（2，+∞）
5．若点P是曲线y＝x2﹣1nx上任一点，则点P到直线y＝x﹣1的最小距离是（ ）
A． B．1 C． D．
6．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（ ）
P（K2≥k0）
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
7．已知具有线性相关的变量x、y，设其样本点为A（xi，yi）（i＝1，2，3，…8，），回归直线方程为＝x+a，若xi＝6，yi＝2，则a＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．设f′（x）为定义在R*上的函数f（x）的导函数，且恒成立，则（ ）
A．3f（4）＞4f（3） B．3f（4）＜4f（3）
C．3f（3）＞4f（4） D．3f（3）＜4f（4）
9．函数f（x）＝•sinx的导数为（ ）
A．f′（x）＝2•cosx B．f′（x）＝•cosx
C．f′（x）＝2•cosx D．f′（x）＝•cosx
10．某学校组织学生参加“我爱阅读”活动，为研究阅读倾向与性别的关系，现对从该学校所有学生中抽取的100人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，结果如表所示：（单位：人）（ ）
喜欢阅读国学类
不喜欢阅读国学类
男
40
10
女
30
20
参考公式：K2＝
P（K2≥k0）
0.05
0.025
k0
3.841
5.024
A．有97.5%的把握认为“是否喜欢阅读国学类书籍与性别有关”
B．有95%的把握认为“是否喜欢阅读国学类书籍与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否喜欢阅读国学类书籍与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜欢阅读国学类书籍与性别无关”
11．已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3
12．已知函数f（x）＝x2﹣+3sinx+1，设f（x）在[﹣，]上的最大、小值分别为M、N，则M+N的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若函数f（x）＝x3+2f′（1）x2+1，则f（﹣1）＝ ．
14．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.809，则最高有 （填百分数）的把握认为“学
生性别与是否支持该活动有关系”．附表：
P（k2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
15．已知函数f（x）＝ax2﹣ax+b，f（1）＝2，f′（1）＝1．则函数f（x）在（1，2）处的切线方程为： ．
16．一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
零件数x（个）
15
20
30
40
50
加工时间y（分钟）
65
70
75
80
90
由表中数据，求得线性回归方程y＝0.66x+a，则估计加工70个零件时间为 分钟（精确到0.1）．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）汕尾市基础教育处为调查在校中学生每天放学后的自学时间情况，在本市的所有中学生中随机抽取了120名学生进行调查，现将日均自学时间小于1小时的学生称为“自学不足”者．根据调查结果统计后，得到如下2×2列联表，已知在调查对象中随机抽取1人，为“自学不足”的概率为．
非自学不足
自学不足
合计
配有智能手机
30
没有智能手机
10
合计
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关？
附表及公式：
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
，n＝a+b+c+d
18．（12分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若a＞1，求f（x）在区间（0，+∞）上的极大值与极小值．
19．（12分）设函数，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y＝2．
（Ⅰ）求 b，c的值；
（Ⅱ）若a＝2，求函数y＝f（x）的极值．
20．（12分）某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差（x°C，x≥3）和患感冒的小朋友人数（y/人）的数据如下：
温差x°C
x1
x2
x3
x4
x5
x6
患感冒人数y
8
11
14
20
23
26
其中，，，
（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；
（Ⅱ）建立y关于x的回归方程（精确到0.01），预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）
参考数据：．
参考公式：相关系数：，回归直线方程是，
21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．
（Ⅰ）求x0及a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝m有三个根，求m的取值范围．
参考答案
一．选择题
1． A． 2． C． 3． A． 4． B． 5． C． 6． B． 7． B． 8． A． 9． B．
10． C． 11． C． 12． A．
二．填空题
13．﹣2．
14． 99%．
15． x﹣y+1＝0．
16． 101.7．
三．解答题
17．解：（1）由题意可得，自学不足的认识为120×＝40，非自学不足的人数80人，结合已知可得下表，
（2）根据上表可得k＝＝15＞6.635
∴有99%的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关．
18．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝2时，，
，f（x）的单调递减区间为（1，2）；
（Ⅱ），∵a＞1，
∴函数在（0，1）上是增函数，在（1，a）上是减函数，在（a，+∞）为增函数，
极大值，极小值．
19． 解：（Ⅰ）f'（x）＝x2﹣ax+b，………（2分）
由题意得解得：b＝0，c＝2． ………（6分）
（Ⅱ）依题意，由f′（x）＝x2﹣2x＝0得x1＝0，x2＝2．………（8分）
所以当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ………（10分）
故f（x）的极大值为f（0）＝2，f（x）的极小值为． ………（12分）
20．解：（Ⅰ），
（14﹣17）2+（20﹣17）2+（23﹣17）2+（26﹣17）2＝252．
故r＝．
∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；
（Ⅱ），，
，
∴y关于x的回归方程为．
当x＝4时，△y＝2.61×4≈10．
预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会增加10人．
21．解：（Ⅰ）由图象可知，在（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，
在（1，2）上，f′（x）＜0，在（2，+∞）上，f′（x）＞0，
故f（x）在（﹣∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减．
因此f（x）在x＝1处取得极大值，所以x0＝1；
f′（x）＝3ax2+2bx+c，
由f′（1）＝0，f′（2）＝0，f（1）＝5，
得，解得a＝2，b＝﹣9，c＝12；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝2x3﹣9x2+12x，f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2），
所以f（x）在[0，1）上递增，在（1，2）上递减，在（2，3]上递增，
∴f（x）max＝max{f（1），f（3）}＝f（3）＝9，
f（x）min＝min{f（0），f（2）}＝f（0）＝0．
所以f（x）在[0，3]上的最大值是9，最小值是0．
22．解：（1）函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x的导数为f′（x）＝3ax2+2bx﹣3，
根据在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0，
得f（1）＝﹣2，f′（1）＝0，即a+b﹣3＝﹣2，3a+2b﹣3＝0，
解得a＝1，b＝0，
则f（x）＝x3﹣3x；
（2）令f′（x）＝3x2﹣3＝0，
解得x＝﹣1或1，
令f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1；
令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1；
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调减区间是（﹣1，1），
f（x）极大值＝f（﹣1）＝2，f（x）极小值＝f（1）＝﹣2，
方程f（x）＝m有三个根，即为y＝f（x）和y＝m有三个交点，
∴﹣2＜m＜2．