- 669.50 KB
- 2021-06-02 发布
三台中学实验学校2019年春季2017级高二下期入学考试
数学试题
命题人：饶 波 审题人：高二数学组
一． 选择题（本答题共12个小题，每题5分，共60分）
1.命题“若，则” 的逆否命题是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.过点 且平行于直线 的直线方程为
A. B. C. D.
3.设命题p：∃n∈N，n2>2n，则￢p为
A．∃n∈N，n2＝2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2>2n D．∀n∈N，n2≤2n
4.空间直角坐标系中与点关于平面对称的点为，则点的坐标为
A． B． C． D．
5.根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是
A．逐年比较，2014年是销售额最多的一年
B．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额
减去总成本）
C．2011年至2012年是销售额增长最快的一年
D．2014年以来的销售额与年份正相关
6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距是
A. B. C. D.
7.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算 术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=
A．0 B．2 C．4 D．14
8.甲、乙两位同学约定周日早上8：00-8：30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为
A． B． C． D．
9.设斜率为且过点的直线与圆相交于,两点，已知：，：。则是的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为 ，方差为 ，则
A. ， B. ， C. ， D. ，
11.设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆上至多有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
12.已知双曲线的一个焦点为，若关于双曲线的渐近线的对称点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学
生进行调查，则抽取的高中生人数为 .
14.连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率为________．
15.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
16.抛物线 的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且满足 ．过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为 ．
三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17．(本小题满分10分）
已知圆 ：，直线 被圆所截得的弦的中点为 ．
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 与圆 相交，求 的取值范围．
18.(本小题满分12分）
已知，：,：指数函数（且）在上单调递增.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求椭圆的离心率的取值范围.
19.(本小题满分12分）
国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，
某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
80
年龄大于50岁
10
合计
70
100
0.1
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
20．(本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x2＋2aln x(a≠0)．
(1)若函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为2，求实数a的值；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
21.(本小题满分12分）
第 届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日 21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．
第31届里约
第30届伦敦
第29届北京
第28届雅典
第27届悉尼
中国
26
38
51
32
28
俄罗斯
19
24
24
27
32
（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（2）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 （从第 届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间 （时间代号）变化的数据：
届
27
28
29
30
31
时间代号(x)
1
2
3
4
5
金牌数之和(y枚)
28
60
111
149
175
作出散点图如下：
①由图中可以看出，金牌数之和 与时间代号 之间存在线性相关关系，请求出 关于 的线性回归方程；
②利用①中的回归方程，预测2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数．
参考数据：，，． ．
22. (本小题满分12分)
已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ，右焦点为 ．设 ， 是 上的两个动点，线段 的中点 的横坐标为 ，线段 的中垂线交椭圆 于 ， 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点纵坐标为m，求直线的方程，并求 的取值范围．
2017级第四学期入学考试数学参考答案
一． 选择题（每题5分，共60分）
1----5 CADBD, 6-10ABCAB 11---12 CB
二． 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13. 14. 15. ； 16.
三．解答题：(本大题共6小题，17题10分，其余每题12分共计70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17．解.（1）因为圆 的方程化标准方程为：，
所以圆心 ，半径 ．设直线 的斜率为，则 ．
所以直线 的方程为： 即 ．........5分
（2） 因为圆的半径 ，所以要使直线 与圆 相交则须有：，
所以 于是 的取值范围是：．........10分
19.解：（1）依题得：
支持
不支持
合计
年龄不大于50
20
60
80
岁
年龄大于50岁
10
10
20
合计
30
70
100
（ 2）.
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关;........7分
（3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，
其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，
所以所求概率是．........12分
20..解：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，
由已知f′(2)＝2，得＝2，求得a＝－2.........5分
(2)对g(x)＝＋x2＋2aln x求导，得g′(x)＝－＋2x＋.
由函数g(x)在[1，2]上是减函数，可得g′(x)≤0在[1，2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1，2]上恒成立，即a≤－x2在[1，2]上恒成立．令h(x)＝－x2，当x∈[1，2]时，h′(x)＝－－2x＝－<0，由此知h(x)在[1，2]上为减函数，所以h(x)min＝h(2)＝－，故a≤－.于是实数a的取值范围为.........12分
21解：19. （1） 两国代表团获得的金牌数的茎叶图如右：
通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．........3分
（2） ① ，
，
所以金牌数之和 关于时间 的线性回归方程 ．........10分
②由①知，当 时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值 ，
故预测2020年中国代表团获得的金牌数为 ．........12分
22.解:21. （1） 因为椭圆 的焦距为 ，且过点K ，所以,
所以，于是 ，，所以椭圆 的方程为 ．........4分
（2） 由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ，，
得 ．
当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ，，，，
由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ，
则 ，故 ．此时，直线 斜率为 ， 的直线方程为 ，即 ．
联立 消去 ，整理得 ．
设 ，，所以 ，，
于是
由于 在椭圆的内部，故 ，令 ，，
则 ．又 ，所以 ．综上， 的取值范围为 ．
...........12分