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- 2021-06-02 发布
【考向解读】
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.
2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.
3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.
【命题热点突破一】函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．
3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.
例1、【2017北京，文5】已知函数，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【变式探究】【2016年高考四川文数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .
【答案】-2
【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以
，所以，即，，所以.
【感悟提升】(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
例3、【2016年高考北京文数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
【变式探究】
(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
【答案】(1)D (2)C
当01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
(2)构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减．因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数，由此可知函数y＝g(x)是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.
【高考真题解读】
1.【2017课标1，文8】函数的部分图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
2.【2017课标3，文7】函数的部分图像大致为（ ）
A B
D．
C D
【答案】D
3.【2017北京，文5】已知函数，则
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.
4.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093
【答案】D
【解析】设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
5.【2017课标1，文9】已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
1.【2016高考新课标3文数】已知，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为，，所以，故选A．
2.【2016年高考北京文数】已知，，且，则（ ）
A. B. C.D.
【答案】C
【解析】A：由，得，即，A不正确；
B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C：由，，得，故，C正确；
D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.
3.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
4.【2016高考新课标2文数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C。
5.【2016年高考四川文数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .
【答案】-2
【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以
，所以，即，，所以.
6.【2016高考浙江文数】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .
【答案】4 2
【解析】设，因为，
因此
7.【2016高考天津文数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足
，则a的取值范围是______.
【答案】
8.【2016年高考四川文数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；
当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
【答案】②③
【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③
设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.
9.【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）
（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2
【答案】D
10.【2016高考天津文数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
【答案】C
【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.
11.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 ▲ .
【答案】
12.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 ▲ .
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：，
13.【2016年高考北京文数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，
①当时，，由图象可知的最大值是；
②由图象知当时，有最大值；只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．
1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A.y＝cos x B.y＝sin x
C.y＝ln x D.y＝x2＋1
解析 由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点.
答案 A
2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 C
3.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0}
B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1}
D.{x|－1＜x≤2}
解析 如图，由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－10，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( )
【答案】B
7．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C 。
8．(2015·陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为－2＜0，所以f(－2)＝2－2＝＞0，所以f＝1－ ＝1－＝.
9．(2015·新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(B)
【答案】B
10．(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是_________________________．
【答案】(－1,3)
【解析】 ∵f(x)是偶函数，
∴图象关于y轴对称．
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，