- 1.40 MB
- 2021-06-02 发布
2020届期末考试数学试卷
一、单选题
1.已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为( )
A. B. C. - D. -
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，然后利用正弦的定义，求得的值.
【详解】依题意可知，所以，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式即可求得.
【详解】解：由题意：，
所以扇形的面积为：
故选：C
【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，核心是记住公式.
3.是( )
A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数
【答案】A
【解析】
【分析】
将函数化为的形式后再进行判断便可得到结论．
【详解】由题意得，
∵，
且函数的最小正周期为，
∴函数时最小正周期为的偶函数．
故选A．
【点睛】判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．
4.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sinα+3cosα=0，①
又∵sin2α+cos2α=1，②
由①②联立解得：cos2α=.
∴cos2α=2cos2α−1=.
故选B.
5.若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，，
，故选B.
6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上单调递增
【答案】A
【解析】
【分析】
函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为：
，单调递增区间：
，
单调递减区间：
，由此可见，当时，函数在上单调递增，故本题选A.
【详解】本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间.
7.下列函数中周期为，且图象关于直线对称的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
因为，所以选项A,B,C,D的周期依次为又当
时，选项A,B,C,D的值依次为所以只有选项A,B关于直线对称，因此选B.
考点：三角函数性质
8.把函数的图象沿轴向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，可得函数 的图象，则 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数图像变换的原则，即可得出结果.
【详解】先把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到；再把图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到.
故选C
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记图像变换的原则即可，属于常考题型.
9.已知，则（ ）
A. 1 B. C. D. -1
【答案】D
【解析】
∵，
∴
，
，故选D.
10.在中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以，即；故选D.
11.若，则是（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角或等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题中条件，结合正弦定理得到，求出角，同理求出角，进而可判断出结果.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
所以，即，因为角为三角形内角，所以；
同理，；所以，
因此，是等腰直角三角形.
故选D
【点睛】本题主要考查判定三角形的形状问题，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
12.函数在上零点的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系下，分别作出与的图象，结合函数图象即可求解.
【详解】解：由题意知：函数在上零点个数，
等价于与的图象在同一直角坐标系下交点的个数，
作图如下：
由图可知：函数在上有个零点.
故选：D
【点睛】本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题.
二、填空题
13.已知角的终边经过点，则的值为__________．
【答案】
【解析】
按三角函数的定义，有.
14.已知向量，，且，则_______．
【答案】-2或3
【解析】
【分析】
用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.
【详解】由题意得：
或
本题正确结果：或
【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
15.已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为__________．
【答案】
【解析】
因为，所以，所以，所以，则.
16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，其中是的内角的对边为.若，且，则面积的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函数求最值的知识，即可求解.
【详解】 ，
又，，
时，面积的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
三、解答题
17.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】分析：（1）由，利用正弦定理可得
，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可得结果；（2）由余弦定理可得可得 ， 所以.
详解： (1)∵
∴
∴
（2）∵
∴ ∴
点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18.已知平面向量满足：
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由题，先求得的大小，再根据数量积的公式，可得与的夹角；
（2）先求得的模长，再直接利用向量几何意义的公式，求得结果即可.
【详解】（1）∵，∴，
又∵，∴，∴
，∴
（2）∵，∴
∴向量在向量上的投影为
【点睛】本题考查了向量的知识，熟悉向量数量积的知识点和几何意义是解题的关键所在，属于中档题.
19.已知向量
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，，若，求的周长.
【答案】(1); (2)
【解析】
【分析】
(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为，然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间；
(2)由(1)及可求得，由可得，再结合余弦定理即可求得，进而可得的周长.
【详解】解：(1)
所以函数的单调递减区间为：
(2)，，
又因在中，,
,
设的三个内角所对的边分别为，
又，且
，，则，
所以的周长为.
【点睛】本题考查平面向量数量积公式，三角函数的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质，以及利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查理解辨析能力及求解运算能力，属于中档题.
20.已知直线：，一个圆的圆心在轴上且该圆与轴相切，该圆经过点．
（1）求圆的方程；
（2）求直线被圆截得的弦长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意设圆心，半径，将点代入圆C的方程可求得a，可得圆的方程；（2）求出圆心C到直线l的距离d，利用勾股定理求出l被圆C所截得弦长．
【详解】（1）∵圆心在轴上且该圆与轴相切，
∴设圆心，半径，，
设圆方程为，
将点代入得，
∴，
∴ 所求圆的方程为.
（2）∵圆心到直线：的距离，
∴直线被圆截得的弦长为.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆的方程的应用问题，考查了垂径定理的应用，是基础题．
21.如图所示，在三棱柱中，与都为正三角形，且平面，分别是的中点.
求证：（1）平面平面；
（2）平面平面.
【答案】(1)见解析.(2)见解析.
【解析】
分析】
（1）由分别是的中点，证得，由线面平行的判定定理，可得平面，平面，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面平面.
（2）利用线面垂直的判定定理，可得平面
，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.
【详解】（1）在三棱柱中，
因为分别是的中点，所以，
根据线面平行的判定定理，可得平面，平面
又，
∴平面平面.
（2）在三棱柱中，平面，所以，
又，，所以平面，
而平面，所以平面平面.
【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
22.已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．
【答案】（1），]（2）值域为[，]．
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简的解析式，根据条件，可求出周期和
，结合奇函数性质，求出，再用整体代入法求出内的递减区间；
（2）利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出时的值域.
【详解】解：（1）由题意得，
因为相邻两对称轴之间距离为，所以，
又因为函数为奇函数，所以，∴，
因，所以
故函数
令.得.
令得，
因为，所以函数的单调递减区间为，]
（2）由题意可得，
因为，所以
所以，.
即函数的值域为[，]．
【点睛】本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.