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- 2021-06-02 发布
屯溪一中2018–2019学年度高二第二学期开学考试数学（文科）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 和直线都平行的直线的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 异面 C.平行 D.平行、相交或异面
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直线与垂直”的（ ）。
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1 B. 2
C．3 D. 4
5. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6. 从甲、乙等名同学中选2人参加社区服务，则甲恰被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8. 直线与圆相切，则的值是（ ）
A.或 B. 或 C. 或 D. 或
9. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）。
A. B. C. D.
10. 设,,若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）。
A． B． C． D．
12. 过作圆的切线，直线与轴的交点为抛物线的焦点，与交于，则的中点到的准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置上。）
13. 命题“存在”的否定是
14. 在空间直角坐标系中，设，，则 。
15.已知双曲线的离心率为，焦点为，点在曲线上，若，则 。
16. 已知、是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，若为等腰三角形，，则的离心率为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。）
17. （本小题满分10分）
给定两个命题，命题对于任意实数，都有恒成立；命题方程表示一个圆。若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围。
18. （本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，
，为的中点．
⑴证明：平面；
⑵若点在棱上，且，求点到平面的距离．
19. （本小题满分12分）
已知圆，点。
⑴设点是圆上的一个动点，求的中点的轨迹方程；
⑵直线与圆交于，求的值。
20. （本小题满分12分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°
⑴求证：AD⊥BC；
⑵求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
⑶求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
21.（本小题满分12分）
过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，直线与抛物线交于，若。
⑴抛物线的方程；
⑵若经过的直线交抛物线于，，若，求直线的方程。
22. （本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一个动点，的周长为，且存在点使得为正三角形。
⑴求椭圆的方程；
⑵若是椭圆 上不重合的四个点，与相交于点，。若的斜率为，求四边形的面积。
屯溪一中2018–2019学年度高二第二学期开学考试
数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9[]
10
11
12
答案
C
D
A
C
B
C
B
D
B
C
A
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置上。）
13. ； 14. ； 15. ； 16. 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。）
17. （本小题满分10分）
解：若真，即对于任意实数，都有恒成立。
ⅰ）若，即对于任意实数，都有恒成立；
ⅱ）若，必须满足
由ⅰ）、ⅱ）得真，的取值范围是 ………………分
若真，即方程表示一个圆，只需，即。
所以真，的取值范围是。 ………………分
若“”为真命题，“”为假命题，即一真一假。
所以的取值范围是。 ………………分
18. （本小题满分12分）
⑴因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，
OB==2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
⑵作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．
【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．
19. （本小题满分12分）
解：⑴设，则，由于点是圆上的一个动点，有
故的中点的轨迹方程为。………………分
⑵
设 ，则
20. （本小题满分12分）
（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD==4．
在Rt△CMD中，．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为。
21. （本小题满分12分）
解：⑴依题意：，
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设 ，则 。
故抛物线的方程为。
⑵若经过的直线的斜率不存在，此时直线与抛物线交于，则关于轴对称，满足，即直线满足题意。若经过的直线的斜率存在，设它为，则。
设 ，则
说明点在线段的中垂线上，即线段的中垂线为：
即
所以直线的方程为。
故直线的方程为或。
22. （本小题满分12分）
解：⑴设为椭圆的半焦距，依题意,有： 解得。[]
故椭圆的方程为。 ………………分
⑵，又，则。
或
。 ………………分
。 ………………分
。
故四边形的面积为。 ………………分