2018届二轮复习第52讲　空间中的平行与垂直课件（全国通用） 36页

第 2 讲　空间中的平行与垂直 专题五　立体几何 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 1.(2016· 课标全国甲 ) α ， β 是两个平面， m ， n 是两条直线，有下列四个命题： ① 如果 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β ，那么 α ⊥ β . ② 如果 m ⊥ α ， n ∥ α ，那么 m ⊥ n . ③ 如果 α ∥ β ， m ⊂ α ，那么 m ∥ β . ④ 如果 m ∥ n ， α ∥ β ，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 . 其中正确的命题有 ________.( 填写所有正确命题的编号 ) 解析 高考真题 体验 1 2 解析　 当 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β 时，两个平面的位置关系不确定，故 ① 错误 ， 经 判断知 ②③④ 均正确，故正确答案为 ②③④ . √ √ √ 2.(2016· 江苏 ) 如图，在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中， D ， E 分别为 AB ， BC 的中点，点 F 在侧棱 B 1 B 上，且 B 1 D ⊥ A 1 F ， A 1 C 1 ⊥ A 1 B 1 . 求证： (1) 直线 DE ∥ 平面 A 1 C 1 F ； 证明　 由已知， DE 为 △ ABC 的中位线， ∴ DE ∥ AC ，又由三棱柱的性质可得 AC ∥ A 1 C 1 ， ∴ DE ∥ A 1 C 1 ， 且 DE ⊄ 平面 A 1 C 1 F ， A 1 C 1 ⊂ 平面 A 1 C 1 F ， ∴ DE ∥ 平面 A 1 C 1 F . 1 2 解析 答案 (2) 平面 B 1 DE ⊥ 平面 A 1 C 1 F . 证明　 在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中， AA 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 ， ∴ AA 1 ⊥ A 1 C 1 ， 又 ∵ A 1 B 1 ⊥ A 1 C 1 ，且 A 1 B 1 ∩ AA 1 ＝ A 1 ， ∴ A 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， ∵ B 1 D ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ， ∴ A 1 C 1 ⊥ B 1 D ， 又 ∵ A 1 F ⊥ B 1 D ，且 A 1 F ∩ A 1 C 1 ＝ A 1 ， ∴ B 1 D ⊥ 平面 A 1 C 1 F ，又 ∵ B 1 D ⊂ 平面 B 1 DE ， ∴ 平面 B 1 DE ⊥ 平面 A 1 C 1 F . 解析 答案 1 2 1. 以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题 .2. 以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等 . 考情考向分 析 返回 热点一　空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1) 根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2) 必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 . 热点分类突破 例 1 　 (1) 已知 α ， β ， γ 是三个互不重合的平面， l 是一条直线，下列命题中正确的是 ( 　　 ) A. 若 α ⊥ β ， l ⊥ β ，则 l ∥ α B. 若 l 上有两个点到 α 的距离相等，则 l ∥ α C. 若 l ⊥ α ， l ∥ β ，则 α ⊥ β D. 若 α ⊥ β ， α ⊥ γ ，则 γ ⊥ β 解析 √ 解析　 A 中，若 α ⊥ β ， l ⊥ β ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ，故 A 错误 ； B 中，若 l 上有两个点到 α 的距离相等，则 l 与 α 平行或相交，故 B 错误 ； C 中，若 l ⊥ α ， l ∥ β ，则存在直线 a ⊂ β ，使 a ∥ l ，则 a ⊥ α ，由面面垂直的判定定理可得 α ⊥ β ，故 C 正确 ； D 中，若 α ⊥ β ， α ⊥ γ ，则 γ 与 β 可能平行也可能相交，故 D 错误 . 故选 C. (2) 关于空间两条直线 a 、 b 和平面 α ，下列命题正确的是 ( 　　 ) A. 若 a ∥ b ， b ⊂ α ，则 a ∥ α B. 若 a ∥ α ， b ⊂ α ，则 a ∥ b C. 若 a ∥ α ， b ∥ α ，则 a ∥ b D. 若 a ⊥ α ， b ⊥ α ，则 a ∥ b 解析 思维升华 √ 思维升华 解析　 线面平行的判定定理中的条件要求 a ⊄ α ，故 A 错 ； 对于 线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故 B 错 ； 平行 于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故 C 错 ； 垂直 于同一个平面的两条直线是平行的，故 D 正确，故选 D. 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 . 思维 升华 跟踪演练 1 　 设 m ， n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 若 m ∥ n ， m ⊥ β ，则 n ⊥ β ； ② 若 m ∥ α ， m ∥ β ，则 α ∥ β ； ③ 若 m ∥ n ， m ∥ β ，则 n ∥ β ； ④ 若 m ∥ α ， m ⊥ β ，则 α ⊥ β . 其中真命题的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 √ 解析　 ① 因为 “ 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 ” ，所以 ① 正确 ； ② 当 m 平行于两个相交平面 α ， β 的交线 l 时，也有 m ∥ α ， m ∥ β ，所以 ② 错误 ； ③ 若 m ∥ n ， m ∥ β ，则 n ∥ β 或 n ⊂ β ，所以 ③ 错误 ； ④ 平面 α ， β 与直线 m 的关系如图所示，必有 α ⊥ β ，故 ④ 正确 . 热点二　空间平行、垂直关系的证明 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化 . 例 2 　 如图，已知 PA ⊥⊙ O 所在的平面， AB 是 ⊙ O 的直径， AB ＝ 2 ，点 C 是 ⊙ O 上一点，且 AC ＝ BC ， ∠ PCA ＝ 45° ，点 E 是 PC 的中点，点 F 是 PB 的中点，点 G 为线段 PA 上 ( 除点 P 外 ) 的一个动点 . (1) 求证： BC ∥ 平面 GEF ； 证明　 ∵ 点 E 是 PC 的中点，点 F 是 PB 的中点， ∴ EF ∥ CB . ∵ EF ⊂ 平面 GEF ，点 G 不与点 P 重合， CB ⊄ 平面 GEF ， ∴ BC ∥ 平面 GEF . 解析答案 (2) 求证： BC ⊥ GE ； 解析答案 证明　 ∵ PA ⊥⊙ O 所在的平面， BC ⊂ ⊙ O 所在的平面， ∴ BC ⊥ PA . 又 ∵ AB 是 ⊙ O 的直径， ∴ BC ⊥ AC . ∵ PA ∩ AC ＝ A ， AC ⊂ 面 PAC ， PA ⊂ 面 PAC ， ∴ BC ⊥ 平面 PAC . ∵ GE ⊂ 平面 PAC ， ∴ BC ⊥ GE . 思维升华 (3) 求三棱锥 B — PAC 的体积 . 解　 在 Rt △ ABC 中， AB ＝ 2 ， AC ＝ BC ， ∵ PA ⊥ 平面 ABC ， AC ⊂ 平面 ABC ， ∴ PA ⊥ AC . 解析答案 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1) 证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法： ① 利用等腰三角形底边中线即高线的性质； ② 勾股定理； ③ 线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可， l ⊥ α ， a ⊂ α ⇒ l ⊥ a . 思维 升华 跟踪演练 2 　 如图，在四棱锥 P — ABCD 中， AD ∥ BC ，且 BC ＝ 2 AD ， AD ⊥ CD ， PB ⊥ CD ，点 E 在棱 PD 上，且 PE ＝ 2 ED . (1) 求证：平面 PCD ⊥ 平面 PBC ； 证明　 因为 AD ⊥ CD ， AD ∥ BC ， 所以 CD ⊥ BC ，又 PB ⊥ CD ， PB ∩ BC ＝ B ， PB ⊂ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ， 所以 CD ⊥ 平面 PBC ，又 CD ⊂ 平面 PCD ， 所以平面 PCD ⊥ 平面 PBC . 解析答案 (2) 求证： PB ∥ 平面 AEC . 证明　 连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 OE . 解析答案 因为 AD ∥ BC ，所以 △ ADO ∽△ CBO ， 所以 DO ∶ OB ＝ AD ∶ BC ＝ 1 ∶ 2 ，又 PE ＝ 2 ED ， 所以 OE ∥ PB ，又 OE ⊂ 平面 AEC ， PB ⊄ 平面 AEC ， 所以 PB ∥ 平面 AEC . 热点三　平面图形的折叠问题 平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键 . 一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法 . 例 3 　 如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， ∠ DAB ＝ 60° ，点 E ， F 分别是边 CD ， CB 的中点， AC ∩ EF ＝ O ，沿 EF 将 △ CEF 翻折到 △ PEF ，连接 PA ， PB ， PD ，得到如图的五棱锥 P — ABFED ，且 PB ＝ . (1) 求证： BD ⊥ PA ； 解析答案 证明　 ∵ 点 E ， F 分别是边 CD ， CE 的中点， ∴ BD ∥ EF . ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直， ∴ BD ⊥ AC . ∴ EF ⊥ AC . ∴ EF ⊥ AO ， EF ⊥ PO ， ∵ AO ⊂ 平面 POA ， PO ⊂ 平面 POA ， AO ∩ PO ＝ O ， ∴ EF ⊥ 平面 POA ， ∴ BD ⊥ 平面 POA ， 又 PA ⊂ 平面 POA ， ∴ BD ⊥ PA . 思维升华 (2) 求四棱锥 P — BFED 的体积 . 解析答案 解　 设 AO ∩ BD ＝ H . 连接 BO ， ∵∠ DAB ＝ 60° ， ∴△ ABD 为等边三角形， ∴ BD ＝ 4 ， BH ＝ 2 ， HA ＝ 2 ， HO ＝ PO ＝ ， 在 Rt △ BHO 中， BO ＝ ＝ ， 在 △ PBO 中， BO 2 ＋ PO 2 ＝ 10 ＝ PB 2 ， ∴ PO ⊥ BO . ∵ PO ⊥ EF ， EF ∩ BO ＝ O ， EF ⊂ 平面 BFED ， BO ⊂ 平面 BFED ， ∴ PO ⊥ 平面 BFED ，梯形 BFED 的面积 S ＝ ( EF ＋ BD )· HO ＝ 3 ， (1) 折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口 ； ( 2) 存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论 . 思维 升华 解析答案 跟踪演练 3 　 如图 (1) ，四边形 ABCD 为矩形， PD ⊥ 平面 ABCD ， AB ＝ 1 ， BC ＝ PC ＝ 2 ，作如图 (2) 折叠，折痕 EF ∥ DC . 其中点 E ， F 分别在线段 PD ， PC 上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M ，并且 MF ⊥ CF . (1) 证明： CF ⊥ 平面 MDF ； 证明　 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ， AD ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ AD . 又因为 ABCD 是矩形， CD ⊥ AD ， PD 与 CD 交于点 D ， 所以 AD ⊥ 平面 PCD . 又 CF ⊂ 平面 PCD ， 所以 AD ⊥ CF ，即 MD ⊥ CF . 又 MF ⊥ CF ， MD ∩ MF ＝ M ，所以 CF ⊥ 平面 MDF . 返回 解析答案 (2) 求三棱锥 M － CDE 的体积 . 解　 因为 PD ⊥ DC ， BC ＝ 2 ， CD ＝ 1 ， ∠ PCD ＝ 60° ， 解析答案 返回 1 2 1. 不重合的两条直线 m ， n 分别在不重合的两个平面 α ， β 内，下列为真命题的是 ( 　　 ) A. m ⊥ n ⇒ m ⊥ β B. m ⊥ n ⇒ α ⊥ β C. α ∥ β ⇒ m ∥ β D. m ∥ n ⇒ α ∥ β 押题依据　 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点 . 此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力 . 解析 押题依据 高考押题精练 √ 解析　 构造长方体，如图所示 . 因为 A 1 C 1 ⊥ AA 1 ， A 1 C 1 ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， AA 1 ⊂ 平面 AA 1 B 1 B ，但 A 1 C 1 与平面 AA 1 B 1 B 不垂直，平面 AA 1 C 1 C 与 平面 AA 1 B 1 B 不垂直 . 所以选项 A ， B 都是假命题 . CC 1 ∥ AA 1 ，但平面 AA 1 C 1 C 与平面 AA 1 B 1 B 相交而不平行，所以选项 D 为假命题 . “ 若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面 ” 是真命题，故选 C. 1 2 2. 如图，在直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知 DC ＝ DD 1 ＝ 2 AD ＝ 2 AB ， AD ⊥ DC ， AB ∥ DC . (1) 求证： D 1 C ⊥ AC 1 ； (2) 问在棱 CD 上是否存在点 E ，使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD . 若 存在，确定点 E 位置；若不存在，说明理由 . 押题依据　 空间直线和平面的平行、垂直关系是立体几何的重点内容，也是高考解答题的热点，结合探索性问题考查考生的空间想象能力、推理论证能力，是命题的常见形式 . 押题依据 解析答案 1 2 返回 (1) 证明 　 在直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，连接 C 1 D ， ∵ DC ＝ DD 1 ， ∴ 四边形 DCC 1 D 1 是正方形， ∴ DC 1 ⊥ D 1 C . 又 AD ⊥ DC ， AD ⊥ DD 1 ， DC ∩ DD 1 ＝ D ， ∴ AD ⊥ 平面 DCC 1 D 1 ， 又 D 1 C ⊂ 平面 DCC 1 D 1 ， ∴ AD ⊥ D 1 C . ∵ AD ⊂ 平面 ADC 1 ， DC 1 ⊂ 平面 ADC 1 ，且 AD ∩ DC 1 ＝ D ， ∴ D 1 C ⊥ 平面 ADC 1 ， 又 AC 1 ⊂ 平面 ADC 1 ， ∴ D 1 C ⊥ AC 1 . 1 2 解析答案 (2 ) 解　 假设存在点 E ，使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD . 连接 AD 1 ， AE ， D 1 E ，设 AD 1 ∩ A 1 D ＝ M ， BD ∩ AE ＝ N ，连接 MN ， ∵ 平面 AD 1 E ∩ 平面 A 1 BD ＝ MN ， 要使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD ， 可使 MN ∥ D 1 E ， 又 M 是 AD 1 的中点，则 N 是 AE 的中点 . 又易知 △ ABN ≌△ EDN ， ∴ AB ＝ DE . 即 E 是 DC 的中点 . 综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使 D 1 E ∥ 平面 A 1 BD . 1 2 返回