- 1.40 MB
- 2021-06-02 发布
数学试卷
一、选择题：（每题5分，共60分）
1.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的标准方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，求出圆心和半径，即求圆的方程.
【详解】圆的圆心是直线与轴的交点，.
又圆与直线相切，.
圆的标准方程为.
故选：.
【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题.
2.掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用列举法求出所有不同的结果，再求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求出概率.
【详解】掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：
正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反.
其中满足条件的有3种情形：
正正反，正反正，反正正.
所以出现正面向上的次数恰好为两次的概率为.
故选：.
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
3.某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是，所以判断框中应该填i>6?.
考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.
点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.
4.由直线y=x+1上一点向圆（x-3）2+y2=1 引切线，则该点到切点的最小距离为（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，
显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
圆心到直线的距离为：.
切线长的最小值为：.
故选B．
【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题．
5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】C
【解析】
分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．
详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，
在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；
在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.
6.直线与圆C：的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由直线，得，因此直线恒过点，又点是圆的圆心，所以直线与圆的位置关系是相交.故正确答案为A.
考点：直线与圆
7.如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为，则等于（ ）．
3
4
5
6
2．5
4
4．5
A. 4．5 B. 3．5 C. 3．15 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
回归直线过样本中心点，由表格求出，代入回归方程即得.
【详解】因为回归直线过样本中心点，回归方程为，
由表格可得，
代入回归方程可得.
故选：.
【点睛】本题考查线性回归，属于基础题.
8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数，再用列举法求出“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式，即得概率.
【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件.
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件总数为，
事件包含的基本事件有：共10个.
所以事件的概率为.
故选：.
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
9.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）
A. 73.3，75，72 B. 72，75，73.3
C. 75，72，73.3 D. 75，73.3，72
【答案】B
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解.
【详解】由频率分布直方图可知,
平均数为
众数为最高矩形底边的中点,即
中为数为:
可得
所以中为数为
综上可知,B为正确选项
故选:B
【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题.
10.已知正方体的各顶点都在球表面上，在球内任取一点，则点在正方体内的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求出正方体的体积和球的体积，比值即为所求的概率.
【详解】记“在球内任取一点，则点在正方体内”为事件.
设正方体的棱长为，则外接球的直径，
则事件的概率为.
故选： .
【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.
11.圆：和：，M，N分别是圆，上的点，P是直线上的点，则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得圆关于的对称的圆的性质，然后将问题转化为三点共线的问题求解最值即可.
【详解】圆关于的对称圆的圆心坐标，半径为3，
圆的圆心坐标，半径为1，
由图象可知当P，，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：．
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）．
A. 16，26，8 B. 17，24，9 C. 16，25，9 D. 17，25，8
【答案】D
【解析】
分析】
由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数.
【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为，其中，公差，则第个号.
令，即，所以第一营区抽人；
令，即，所以第二营区抽人；
三个营区共抽人，所以第三营区抽人.
故选： .
【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.
二、填空题（每题5分，共20分）
13.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】
两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【详解】圆与圆的方程相减得：，
由圆的圆心，半径r为2，
且圆心到直线的距离，
则公共弦长为．
故答案为．
【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．
14.总体是由编号为01,02,…19,2020个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
【答案】01
【解析】
【分析】
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【详解】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，19， 01，04．（去掉重复）．
可知对应的数值为08，02，14，19，01，
则第5个个体的编号为01．
故答案为01．
【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
15.已知，，点是圆上的动点，则面积的最大值为___．
【答案】6
【解析】
【分析】
先由题意得到的长度，以及直线的方程，再由点到直线距离公式确定点到直线距离的最大值，即可求解.
【详解】如图，由题设，得圆心,半径，，
直线的方程为，则边上的高就是点到直线
的距离，圆心到直线的距离为，可得圆
上的点到直线的距离的最大值为，
故面积最大值．答案：6
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，在研究圆上的动点到定直线距离的最大值时，通常求圆心到直线的距离加半径即可，属于中档试题.
16.过点作圆的两条切线，切点分别为，则= .
【答案】
【解析】
【详解】如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
三、解答题（17题10分，18、19、20、21、22每题12分，共70分）
17.某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温（平均温度）的对比表：
0
1
3
4
140
136
129
125
（1）请在图中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）如果某天的气温是，试根据（2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数．
参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．
参考数据：．
【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）121杯.
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据，画出散点图即可；
（2）根据表中数据，计算，代入公式求出，写出回归方程；
（3）根据回归方程计算时的值即可.
【详解】（1）根据表中数据，画出散点图，如图所示；
（2）计算，
又，，
∴，，
故所求线性回归方程为；
（3）当时，；预测这天大约可以卖出121杯热饮．
【点睛】本题考查线性回归方程的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
18.
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．
（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为选派哪位学生去参加更合适？请说明理由；
（2）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．
【答案】（1）派甲参加比较合适，理由见解析；（2）所有结果见解析，.
【解析】
【分析】
（1）利用样本数据的平均数和方差的计算公式，求出平均数和方差，比较即可得到结论；
（2）利用列举法求出基本事件总数，求出“抽出的2个成绩均大于85分”所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）派甲参加比较合适，理由如下：
，
，
，
∵，，故甲的成绩比较稳定，
（2）从不小于80分的成绩中抽取2个成绩，
所有结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15
个，
其中，满足2个成绩均大于85分的有，，，共3个，
故，所求的概率是．
【点睛】本题考查茎叶图的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
19.已知圆：，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于不同的两点，，且，求直线的方程.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）确定圆心与半径，利用直线与圆相切，分类讨论，即可求直线的方程；
（2）由，得，分类讨论，即可求出直线的方程.
【详解】（1）圆：，配方得：，
圆心，半径，
①当直线斜率不存在时，：，此时不与圆相切.
②若直线的斜率存在，设：，
由得或，
所以直线方程为或.
（2）由，得，
①若当直线的斜率不存在时，：，满足题意，
②若直线的斜率存在，设：由，
得，此时：，
综上所述方程为或.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用，属于中档题.
20.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
5
第2组
①
第3组
30
②
第4组
20
第5组
10
（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率．
【答案】（1）人，，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图．
（2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入第二轮面试的人数．
（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．
【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为人，
②第组的频率为，
频率分布直方图如图所示，
（2）因为第组共有名学生，
所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第组： 人，
第组：人，
第组：人，
所以第组分别抽取人、人、人进入第二轮面试．
（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，
则从这六位同学中抽取两位同学有种选法，分别为：，，，
，，，，，，，，，，，，
其中第组的位同学中至少有一位同学入选的有种，分别为：，，，
∴第组至少有一名学生被考官面试的概率为．
【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
21.设有关于x的一元二次方程．
若a是从0,1,2三个数中任取的一个数,b是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率；
若a是从区间任取的一个数,b是从区间任取的一个数,求上述方程有实数的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b
（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．
【详解】设事件A为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2
）（2，3）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件，
∴事件A发生的概率为P；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}
∴所求的概率是．
【点睛】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．
22.已知圆经过点，,且它的圆心在直线上.
（Ⅰ）求圆的方程;
（Ⅱ）求圆关于直线对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点为圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（Ⅱ）求出N（2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），即可得到圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程；（Ⅲ）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程
试题解析：：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有，解得：a=2．
于是圆N的圆心N（2，4），半径．
所以，圆N的方程为．（5分）
（Ⅱ）N（2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），
所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为（9分）
（Ⅲ）设M（x，y），D，则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：，解得又点D在圆N：上，所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．（13分）
考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系