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- 2021-06-02 发布
吉林省实验中学 2016-2017 学年高二上学期期末考试
数学（理）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 12，11，10 的概率依次是 1P ， 2P ，
3P ，则（ ）
A． 1 2 3P P P B． 1 2 3P P P C． 1 2 3P P P D． 3 2 1P P P
2.一组数据的平均数是 2.8 ，方差是3.6 ，若将这组数据中的每个数据都加上 60 ，得到一组
新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A． 57.2 ， 3.6 B． 57.2 ，56.4 C． 62.8 ， 63.6 D． 62.8 ， 3.6
3.已知 x 和 y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
根据这组数据求得关于 y 与 x 的线性回归方程 2.1 0.85y x ，则 m 的值为（ ）
A．1 B． 0.5 C．1.5 D．2
4.“ 2a ”是“ 6x a 的展开式的第三项是 460x ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C.充要 D．既不充分也不必要
5.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或
最后一步，程序 B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A．34 种 B．48 种 C.96 种 D．144 种
6.如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为
（ ）
A．13 B．12 C.11 D．10
7.如图是将二进制数 211111 化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是
（ ）
A． 5i B． 4i C. 5i D． 4i
8.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙
猜出的数字记为b ，且 1 2 3a b， ， ， ，若 1a b ，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意
找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A． 1
3
B． 5
9
C. 2
3
D． 7
9
9.已知命题 : ln 2 0p x R x x ， ，命题 2: 2xq x R x ， ，则下列命题中为真命题的
是（ ）
A． p q B． p q C. p q D． p q
10.袋中有 40 个小球，其中红色球 16 个，蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，从中随
机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）
A．
1 2 3 4
4 8 12 16
10
40
C C C C
C
B．
2 1 3 4
4 8 12 16
10
40
C C C C
C
C.
2 1 1 4
4 8 12 16
10
40
C C C C
C
D．
1 3 4 2
4 8 12 16
10
40
C C C C
C
11.若对于任意实数 x ，有 2 33
0 1 2 32 2 2x a a x a x a x ，则 2a 的值为（ ）
A．3 B．6 C.9 D．12
12.若直线 : 2
xl y m 与曲线 21: 42C y x 有且仅有三个交点，则 m 的取值范围是
（ ）
A． 2 1 2 1 ， B． 1 2 1， C. 1 2， D． 2 2 1，
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.在 2 3 ， 上随机取一个数 x ，则 1 3 0x x 的概率为 ．
14.用秦九韶算法求多项式 6 5 4 3 25 6 3 1.8 0.35 2f x x x x x x x ，在 1x 的值时， 2v
的值是 ．
15.学校为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》
三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生 600 人，他们每个人都参加且只参
加一门课程的选修，为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取 30
名学生进行座谈.据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次
组成一个公差为 40 的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为 ．
16.若双曲线
2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
， 一条渐近线的倾斜角为
3
，离心率为 e ，则
2a e
b
的
最小值为 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17. （本小题满分 10 分）
20 名学生某次数学考试成绩（单位：分工）的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值；
（Ⅱ）从成绩在 50 70， 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 60 70， 中的概率.
18. （本小题满分 12 分）
某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎
为十位数，叶为个位数.
（Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值；
（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 12 名工人
中有几名优秀工人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该车间 12 名工人中，任取 3 人，求恰有 1 名优秀工人的情况
有多少种？
19. （本小题满分 12 分）
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共 5 杯，
其颜色完全相同，并且其中 3 杯为 A 饮料，另外 2 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝
后，从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料，若该员工 3 杯都选对，则评为优秀；若 3 杯选对 2 杯，
则评为良好；否则评为及格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力.
求：（Ⅰ）求此人被评为优秀的概率；
（Ⅱ）求此人被评为良好及以上的概率.
20. （本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD ，AD BC∥ ， 3AB AD AC ， 4PA BC ，
M 为线段 AD 上一点， 2AM MD ， N 为 PC 的中点.
（Ⅰ）证明： MN ∥平面 PAB ；
（Ⅱ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
21. （本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的一个顶点 2 0A ， ，离心率为 2
2
，直线 1y k x 与
椭圆 C 交于不同的两点 M N， .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）当 AMN△ 的面积为 10
3
时，求实数 k 的值.
22. （本小题满分 12 分）
如图，已知点 3M a ， 是抛物线 2 4y x 上一定点，直线 AM BM， 的斜率互为相反数，且
与抛物线另交于 A B， 两个不同的点.
（Ⅰ）求点 M 到其准线的距离；
（Ⅱ）求证：直线 AB 的斜率为定值.
吉林省实验中学 2016-2017 学年度上学期期末考试
数学（理）试题答案
一、选择题
1-5:BDBAC 6-10:BDDCA 11、12：BC
二、填空题
13. 4
5
14.12 15.12 16. 2 6
3
三、解答题
17.解：（1）根据频率分布直方图得，
成绩落在 60 70， 中的学生人数为 3 0.005 10 20 3 .
所求概率为 3
10P .…………………………12 分工
18.解：（1）样本均值为 17 19 20 21 25 30 132 226 6
.………………4 分
（2）由（1）知样本中优秀工人占的比例为 2 1
6 3
，故推断该车间12 名工人中有 112 43
名
优秀工人.
…………………………………………………………………………………………8 分
（3）从该车间 12 名工人中，任取 3 人，恰有 1 名优秀工人，则 1 2
4 8 112c c .…………12 分
19.解：将 5 杯饮料编号为 1，2，3，4，5，编号 1，2，3 表示 A 饮料，编号 4，5 表示 B 饮
料，
则从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能的情况为（123），（124），（125），（134），（135），（145），
（234），（235），（245），（345）；共 10 个基本事件；
记“此人被评为优秀”为事件 D ，记“此人被评为良好及以上”为事件 E ，
（1）分析可得， D 包括（123）1 个基本事件，
则 1
10P D ；
（2） E 包括（123），（124），（125），（134），（135），（234），（235）7 个基本事件；
则 7
10P E .
20.解：（1）由已知得 2 23AM AD ，取 BP 的中点T ，连接 AT ，TN ，由 N 为 PC 中点知
TN BC∥ ， 1 22TN BC .
又 AD BC∥ ，故TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT∥ ，
因为 AT 平面 PAB ， MN 平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB .
（2）取 BC 的中点 E ，连接 AE ，由 AB AC 得 AE BC ，从而 AE AD ，且
2
2 2 2 52
BCAE AB BE AB
.
以 A 为坐标原点，AE 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，由题
知，
0 0 4P ， ， ， 0 2 0M ， ， ， 5 2 0C ， ， ， 5 1 22N
， ， ，
0 2 4PM ， ， ， 5 1 22PN
， ， ， 5 1 22AN
， ， .
设 n x y z ， ， 为平面 PMN 的法向量，则 0
0
n PM
n PN
，即
2 4 0
5 2 02
x z
x y z
，可取
0 2 1n ， ， ，
于是 8 5cos 25
n AN
n AN
n AN
， .
21.解：（1）∵ 2a ， 2
2
ce a
，∴ 2c ， 2b .
椭圆
2 2
: 14 2
x yC .………………………………………………5 分工
（2）设 1 1 M x y， ， 2 2 N x y， ，则由 2 2
1
14 2
y kx
x y
，消 y ，得 2 2 2 21 2 4 2 4 0k x k x k ，
∵直线 1y k x 恒过椭圆内一点 1 0， ，
∴ 0 恒成立.
由根与系数的关系，得
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
，
2
1 2 2
2 4
1 2
kx x k
.……………………8 分
1 2 1 2
1 112 2AMNS y y kx kx △
2
2
1 2 1 2 2
16 24 1042 2 1 2 3
k k kx x x x k
.…………
10 分
即 4 27 2 5 0k k ，解得 1k .………………………………12 分
22.解：（1）∵ 3M a ， 是抛物线 2 4y x 上一定点，
∴ 23 4a ， 9
4a ，
∵抛物线 2 4y x 的准线方程为 1x ，
∴点 M 到其准线的距离为 9 1314 4
.……………………5 分
（2）由题知直线 MA ， MB 的斜率存在且不为 0，设直线 MA 的方程为： 93 4y k x
，
∴
2
93 4
4
y k x
y x
， 2 4 12 9 0y yk k
，
∵ 43Ay k
，∴ 4 3Ay k
.…………8 分
∵直线 AM BM， 的斜率互为相反数，
∴直线 MA 的方程为 93 4y k x
，同理可得： 4 3By k
.……9 分
∴ 2 2
4 4 2
4 4 33 3
4 4
B A B A
AB
B AB A B A
y y y yk y yx x y y
k k
.………………12 分
∴直线 AB 的斜率为定值 2
3
.