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- 2021-06-02 发布
哈师大附中2017级高三10月月考
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合，且，则集合可能是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解出A＝（0，2），根据A∪B＝A可得出B⊆A，依次看选项中哪个集合是A的子集即可．
【详解】A＝（0，2）；
∵A∪B＝A；
∴B⊆A；
选项中，只有{1}⊆A．
故选：C．
【点睛】本题考查了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于基础题．
2.已知复数满足，则复数的共轭复数对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则首先求得z的值，然后求解其共轭复数即可确定其所在的象限.
【详解】由题意可得：，则，
故，其所对的点位于第二象限.
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所在象限的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.下列判断正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数最小值为2
C. 当时，命题“若，则”为真命题
D. 命题“，”的否定是“，”
【答案】C
【解析】
【分析】
求解对数不等式之后即可考查选项A是否正确，利用换元法可确定选项B中函数的最小值，利用原命题与逆否命题的关系可判断C选项是否正确，否定全称命题即可确定选项D是否正确.
【详解】逐一考查所给命题的真假：
对于选项A：由可得，即，
故“”是“”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题；
对于选项B：令，
由对勾函数的性质可知函数单调递增，其最小值为，则题中的命题为假命题；
对于选项C：考查其逆否命题：“若，则”，
很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题；
对于选项D：命题“，”的否定是“，”，则题中的命题为假命题；
故选：C.
【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.
4.若正项等比数列满足，则的值是
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
分析：设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，解得，代入即可得结果.
详解：设正项等比数列的公比为，
，
所以，解得，
，解得，
则，故选D.
点睛：本题主要考查数列递推关系，等比数列的通项公式，意在考查推理能力与计算能力以及基本概念与基本公式的掌握的熟练程度，属于中档题.
5.函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的性质和函数值的取值情况进行分析、判断可得结论．
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
故函数的图象关于轴对称，故可排除A，C；
又当，，所以，故可排除B．
从而可得选项D正确．
故选D．
【点睛】本题考查用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解．
6.已知为的外接圆的圆心，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得的值即可确定的值.
【详解】由题意可得：，且，
，
，∴∠AOB=90°.
如图所示，建立平面直角坐标系，设，，
由可知：，则：
，，，
则.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知，则，，，中值最大的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意首先确定的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给选项中最大的数即可.
【详解】由于，故，且.
由指数函数的单调性可得：，，
由幂函数的单调性可得：，
综上可得，，，，中值最大的为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的乘积为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. .3
【答案】D
【解析】
分析】
由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解数列的前2019项的乘积即可.
【详解】由题意可得：，故：
，，，
，，
据此可得数列是周期为的周期数列，
注意到，且：，
故数列的前2019项的乘积为：.
故选：D.
【点睛】本题主要考查数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
由题意可得函数的解析式为，函数的一个单调递减区间是，若函数在区间上为减函数，则，只要，∴，则的最大值为，故选B．
点睛：已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间是单调区间的子集；
10.已知数列满足，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先整理所给的递推关系式，然后累加求通项即可求得的值.
【详解】由可得:，
则：
，
则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查数列递推关系的应用，裂项求通项的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知数列前项和为，若，且，则（ ）
A. －5 B. －10 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合的值可得的值.
【详解】由题意可得：，，
两式作差可得：， ①
进一步有：， ②
①-②可得：，
故数列的偶数项为等差数列，且公差为4，
据此可得：，即：，解得：.
故选：C.
【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
12.已知，又有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数的性质即可确定实数的取值范围.
【详解】，
当x⩾0时,恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数；
当x<0时,，
由f′(x)=0,得x=−1,当x∈(−∞,−1)时,f′(x)=−ex(x+1)>0,f(x)为增函数，
当x∈(−1,0)时,f′(x)=−ex(x+1)<0,f(x)为减函数，
所以函数f(x)=|xex|在(−∞,0)上有一个最大值为，
则函数的大致图象如图所示：
令f(x)=m,要使方程f2(x)−tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，
则方程m2-tm+1=0应有两个不等根,且一个根在内,一个根在内.
再令h(m)=m2−m+1,因为h(0)=1>0,则只需,即，解得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）
13.曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
14.平面向量与的夹角为，，，则______．
【答案】.
【解析】
【详解】分析：先计算，再利用向量模的公式求.
详解：由题得，
所以
故答案为：.
点睛：(1)本题主要考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)若，则.
15.已知定义在上的奇函数满足，，为数列的前项和，且，_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用题中条件可推出函数是以为周期周期函数，由可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出、的值，再利用周期性和奇函数的性质求出的值.
【详解】对任意的，，当时，，得；
当时，由得，
上述两式相减得，整理得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，.
，，由于函数为奇函数，
，，
则函数是以为周期的周期函数，，
，因此，，故答案为：.
【点睛】本题考查函数周期性与奇偶性求值，同时也考查了利用前项和公式求数列的通项，考查运算求解能力，属于中等题.
16.已知点为的重心，且，则的值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
由题意建立平面直角坐标系，然后结合重心的性质和正弦定理即可求得的值.
【详解】以点G为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由重心的性质可得：，
故直线AN的方程为：，直线BM的方程为：，
联立直线AN与直线BM的方程可得点C的坐标为.
结合两点之间距离公式可得：，，，
利用正弦定理可知：.
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，直线方程的应用，直线交点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设函数.
（Ⅰ）当时，解不等式：；
（Ⅱ）若存在，使得，试求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集；
(Ⅱ)首先利用绝对值三角不等式求得的最小值，据此得到关于a的不等式即可确定实数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），
或或，
所以，或或，
不等式解集为.
（Ⅱ）即若存在，使得，
因为，
所以，
所以的取值范围为.
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
18.已知，.记
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）画出函数在区间上的图象.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间是;对称轴方程是，；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先将函数的解析式整理为的形式，然后讨论函数的单调递增区间和函数的对称轴方程即可；
(Ⅱ)首先利用函数的解析式列表，然后绘制函数图像即可.
【详解】（Ⅰ）
令，，
则：，，
据此可得的单调递增区间是.
令，可得对称轴方程为，.
（Ⅱ）列表可得函数值如下：
0
0
0
1
0
－1
据此绘制函数图像如图所示：
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，三角函数图象的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.若数列的首项，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记等差数列的前项和为，，，设，求证：数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用题中所给的递推关系式构造等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式；
(Ⅱ)由题意首先求得数列的首项和公差，据此即可确定数列的通项公式，据此确定数列的通项公式，最后错位相减求得其前n项和即可证得题中的结论.
【详解】（Ⅰ）∵数列的首项，且，
∴，，
∴是首项为3，公比为3的等比数列，
∴，.
（Ⅱ）记等差数列公差为，则：
，，
解得，，所以，，
（1）
（2）
（1）－（2）得，
，
.
【点睛】本题主要考查由递推关系式求解数列通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中不等式的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的周长的最大值.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）6
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用诱导公式和两角和差正余弦公式得到关于A的三角方程，然后结合角的范围即可确定∠的大小；
(Ⅱ)由题意结合正弦定理将边长整理为关于∠B的三角函数式，然后结合三角函数的性质和角的范围即可求得周长的最大值.
【详解】（Ⅰ）∵，∴①，
∵，∴②，
又③，④，
将①②③④代入已知，得，
得，即，
又，∴，即.
（Ⅱ）由正弦定理得，
∵，∴，
当时，即，的周长.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形周长的最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
21.已知正项数列满足，记数列前项和，，其中.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列的前项和为，若恒成立，求实数的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分类讨论n=1和n≥2两种情况即可确定数列的通项公式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论首先裂项求和求得数列的前项和为，然后结合恒成立的结论确定实数m的取值范围即可确定实数的最小值.
【详解】（Ⅰ），令，可得：，
解得（舍）或
，，
两式作差得，，即，所以.
（1）当时，是以1为首项，以2为公差的等差数列，
此时，
（2）当时，，此时，不满足数列是递增数列，舍去.
所以，
（Ⅱ）
，实数的取值范围.
则实数的最小值为.
【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
22.已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，均存在使得，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域和导函数的符号分类讨论即可确定函数的单调区间；
(Ⅱ)首先求得函数的最大值，然后进行等价转化，结合(Ⅰ)中的结果分类讨论即可确定的取值范围.
【详解】（Ⅰ）.
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
③当时，，故的单调递增区间是.
④当时，，在区间和上，；区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（Ⅱ）设，，，为增函数，
由已知，.据此可得.
由（Ⅰ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，
综上所述，.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．