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- 2021-06-02 发布
2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
09函数 二次函数及应用
【考点讲解】
一、 具体目标：
1.掌握二次函数的图象与性质,
2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间.
从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．
二、知识概述：
1.与二次函数有关的绝对值问题：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质、绝对值不等式及式子变形的技巧，还要注意用某几个特定的函数值表示二次函数的系数.
2.二次函数与二次方程及二次不等式：
解决这类问题应注意二次函数、二次方程及二次不等式之间的关系及相互转化.
3.二次函数求最值问题，一般先用配方法化为的形式，得顶点和对称轴方程，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：
(1)顶点固定，区间也固定；
(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
4.二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．
【优秀题型展示】
1.已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1） 如果，设函数的对称轴为，求证：；
（2） 如果，，求的取值范围.
【解析】（1）设，
，由条件，
得即
显然由得即有，
故
（2）由，知，故与同号.
①若则（负根舍去），
，即
，
（负根舍去），
代入（*）式，得，解出
②若，则（正根舍去），
，即
将代入（）式得，
解得
综上，的取值范围为或
2.已知二次函数
（1）对于，且，求证：方程有不等的两实根，且必有一个实根属于；
（2）若方程在内的根为，且成等差数列，设是的对称轴方程，求证：
证明：（1）由得：
又
方程有不等的两实根.
令，则是二次函数.
由
得的根必有一个属于
综上，方程有不等的两实根，且必有一个实根属于.
（2）由题设得，即有
成等差数列，
故
【真题分析】
1.【2018年天津卷文】已知，函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是__________．
②当时，也就是，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：当时，，则；
综合①②可得的取值范围是.
【答案】
2.【2017湖南岳阳县第一中学模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( )
A. （0,4] B. （0,8） C. （2,5） D.
【答案】B
3. 【2016年山东】已知函数其中，存在实数b，使得关于x的方程
f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________.
【解析】本题考点二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.【答案】
4.【2017·九江模拟】已知，如果对恒成立，则实数a的取值范围为________.
【解析】因为，对称轴是直线，当恒成立，对称轴与区间的位置关系可以得到：或
或.解得或或所以的取值范围为.
【答案】
【模拟考场】
1.已知函数，若，则必有( )
A． B．
C． D．的符号不能确定
【答案】A
2.已知函数，（），对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】时，函数的值域为，时，的值域为，由题意，则有，又，故解得．故选A．
【答案】A
3.【2017上海南洋模范中学质检】定义在上的函数 ，当时，
，且对任意的满足（常数），则函数f(x)在区间的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】
当，所以有；
当，所以有；
当，所以有；
所以当时，，选D.
【答案】D
4.一元二次方程的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是 .
【解析】记，由已知得，解得．
【答案】
5.已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是 .
当时有函数对称轴，若，即，此时的零点为，不符合.因为，，即，所以可知对称轴，画图可知此时在区间内无零点.
当时有函数对称轴，此时恒成立.因为，所以有，解得.所以此时
综上可得，.【答案】
6.已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
【解析】若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令, 解得
①当时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 .
7.设a为实数，函数.
（Ⅰ）讨论的奇偶性.（Ⅱ）求的最小值.
（Ⅱ），即
当时，；
当时，；
当，.
8.已知二次函数,当时,
（1） 证明：；
（2） 用表示；
（3）当时，证明
解：（1）
（2）
；
（3）由于为一次函数，所以在端点处达到最大值，
又时，因为，所以
，
故当时，