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- 2021-06-02 发布
2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验学校高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．某校有40个班，每班55人，每班选派3人参加“学代会”，这个问题中样本容量是（ ）
A．40 B．50 C．120 D．155
2．若a＞b，c∈R，则下列命题中成立的是（ ）
A．ac＞bc B．＞1 C．ac2≥bc2 D．
3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黒球与都是红球
B．至少有一个黒球与都是黒球
C．至少有一个黒球与至少有1个红球
D．恰有1个黒球与恰有2个黒球
5．不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1=0的（ ）
A．左上方 B．左下方 C．右上方 D．右下方
6．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
8．已知{an}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
9．已知Sn为等差数列{an}的前n项，若a2：a4=7：6，则S7：S3等于（ ）
A．2：1 B．6：7 C．49：18 D．9：13
10．已知x＜0，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
11．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（ ）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]
12．数据a1，a2，a3…an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2an的方差为（ ）
A． B．σ2 C．2σ2 D．4σ2
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为 ．
14．不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是 ．
15．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为 ．
16．集合A={2，4，6，8，10}，B={1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m＞n的概率是 ．
三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
17．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
18．（Ⅰ）比较（x+1）（x﹣3）与（x+2）（x﹣4）的大小．
（Ⅱ）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？
19．在△ABC中，a=、b=、B=60°，求角A，角C和边c．
20．已知数列{an} 的前n项和为，求{an}的通项公式．
21．已知，求函数的最大值．
22．已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，…．
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式．
2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验学校高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．某校有40个班，每班55人，每班选派3人参加“学代会”，这个问题中样本容量是（ ）
A．40 B．50 C．120 D．155
【考点】收集数据的方法．
【分析】由题意，第班抽三人，四十个班共抽取120人，由此知样本容量即为120，选出正确选项即可
【解答】解：由题意，是一个分层抽样，每个班中抽三人，总共是40个班，故共抽取120人组成样本
所以，样本容量是120人．
故选C
2．若a＞b，c∈R，则下列命题中成立的是（ ）
A．ac＞bc B．＞1 C．ac2≥bc2 D．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】观察四个选项，本题是考查等式与不等关系的题目，由不等式的性质对四个选项逐一进行研究得出正解答案即可．
【解答】解：A选项不对，由于c的符号不知，当c＜0时，此不等式不成立；
B选项不正确，当b＜0＜a时，此不等式无意义；
C选项是正确的，因为c2≥0，故ac2≥bc2；
D选项不正确，当当b＜0＜a时，此不等式无意义；
故选C
3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32种结果，根据概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42=6种结果，
满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32=3种结果，
∴根据古典概型概率公式得到P=，
故选B．
4．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黒球与都是红球
B．至少有一个黒球与都是黒球
C．至少有一个黒球与至少有1个红球
D．恰有1个黒球与恰有2个黒球
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．
【解答】解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求；
B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求；
C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系；
D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确．
故选D
5．不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1=0的（ ）
A．左上方 B．左下方 C．右上方 D．右下方
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】取坐标原点，可知原点在直线x+y﹣1=0的左下方，（0，0）代入，使得x+y﹣1＜0，故可得结论
【解答】解：取坐标原点，可知原点在直线x+y﹣1=0的左下方
∵（0，0）代入，使得x+y﹣1＜0
∴不等式x+y﹣1＞0表示的平面区域在直线x+y﹣1=0的右上方．
故选C．
6．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据直接代入，即可解出a长，得到本题答案．
【解答】解：∵△ABC中，sinA=，b=sinB，
∴根据正弦定理，得
解之得a=
故选：D
7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【考点】循环结构．
【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．
【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：
x
1
2
4
8
y
1
2
3
4
当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．
故选B．
8．已知{an}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的性质可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．
又a2+a3+a10+a11=48，
∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．
故选D．
9．已知Sn为等差数列{an}的前n项，若a2：a4=7：6，则S7：S3等于（ ）
A．2：1 B．6：7 C．49：18 D．9：13
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据所给的两项之比和要求的数列的前n项和，把前n项和写成S7：S3=7a4：3a2，代入比值求出结果．
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项，
若a2：a4=7：6，
∴S7：S3=7a4：3a2=7×6：3×7=2：1
故选A．
10．已知x＜0，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【考点】基本不等式．
【分析】根据基本不等式即可求出最大值．
【解答】解：∵x＜0，
∴﹣x＞0，
∴y=3x+=﹣[（﹣3x）+（）]≤﹣2=﹣4，当且仅当x=﹣时取等号，
∴y=3x+有最大值为﹣4，
故选：A
11．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（ ）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
由得B（2，0），
由，得A（0，1），
当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，
当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，
则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]
故选C．
12．数据a1，a2，a3…an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2an的方差为（ ）
A． B．σ2 C．2σ2 D．4σ2
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】本题是根据一组数据的方差，求和它有关的另一组数据的方差，可以先写出数据a1，a2，a3…an的方差为σ2的表示式，然后再写出数据中每一个数据都乘以2以后的表示式，得到结果．
【解答】解：∵σ2=，
∴=4•=4σ2．
故选D
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为 65 ．
【考点】分层抽样方法．
【分析】分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．
【解答】解：分层抽样即是按比例抽样，
易知抽样比例为2000：200=10：1，
∵某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人，
∴高一学生为2000﹣630﹣720=650
故650名高一学生应抽取的人数为650×=65人．
故答案为：65．
14．不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是 ∅ ．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】把不等式化为x2﹣2x+3＜0，计算△＜0，判断原不等式的解集是∅．
【解答】解：不等式﹣x2+2x﹣3＞0化为x2﹣2x+3＜0，
△=4﹣4×1×3=﹣8＜0，
不等式对应的方程无实数解，
所以原不等式的解集是∅．
故答案为：∅．
15．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为 2 ．
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．
【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均数是1，即有（a+0+1+2+3）÷5=1，易得a=﹣1，
根据方差计算公式得s2= [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=×10=2
故答案为：2
16．集合A={2，4，6，8，10}，B={1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m＞n的概率是 0.6 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从两个集合中分别任取一个元素，共有5×5种结果，满足条件的事件是所取两数m＞n，把前面数字当做m，后面数字当做n，列举出有序数对，得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是从两个集合中分别任取一个元素，共有5×5=25种结果，
满足条件的事件是所取两数m＞n，
把前面数字当做m，后面数字当做n，列举出有序数对，
（2，1）（4，1）（4，3）（6，1）（6，3）（6，5）（8，1）（8，3）
（8，5）（8，7）（10，1）（10，3）（10，5）（10，7）（10，9）共有15种结果，
∴所求的概率是P==0.6，
故答案为：0.6
三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
17．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】先求出甲和乙的平均数，再求出甲和乙的方差，结果甲的平均数大于乙的平均数，甲的方差大于乙的方差，得到结论．
【解答】解：，
，
∵
∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．
18．（Ⅰ）比较（x+1）（x﹣3）与（x+2）（x﹣4）的大小．
（Ⅱ）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由作差法分析可得：（x+1）（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣4）=（x2﹣2x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣8）=5＞0，即可得（x+1）（x﹣3）＞（x+2）（x﹣4）；
（Ⅱ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，结合题意可得x+y=18，矩形菜园的面积为xym2．由基本不等式分析可得≤==9，即可得xy的最大值，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为（x+1）（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣4）=（x2﹣2x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣8）=5＞0，
故（x+1）（x﹣3）＞（x+2）（x﹣4）；
（Ⅱ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym．
则2（x+y）=36，即x+y=18，矩形菜园的面积为xym2．
由≤==9，可得xy≤81；
当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2
19．在△ABC中，a=、b=、B=60°，求角A，角C和边c．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】直接利用正弦定理求出A的正弦值，利用大边对大角可求A为锐角，从而可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值，进而利用正弦定理可求c的值．
【解答】（本题满分12分）
解：∵a=、b=、B=60°，
∴sinA===，
∵a＜b，A为锐角，
∴A=45°，C=180°﹣A﹣B=75°，
∴c===．
20．已知数列{an} 的前n项和为，求{an}的通项公式．
【考点】数列递推式．
【分析】由数列递推式求出数列首项，再结合an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得数列通项公式．
【解答】解：∵Sn=6n2﹣5n﹣4，
∴a1=S1=﹣3；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n2﹣5n﹣4﹣[6（n﹣1）2﹣5（n﹣1）﹣4]=12n﹣11．
验证a1=﹣3不适合上式，
∴an=．
21．已知，求函数的最大值．
【考点】基本不等式．
【分析】先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．
【解答】（本小题满分6分）
解：∵∴5﹣4x＞0
∴=﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3=1
当且仅当5﹣4x=，即x=1时，上式成立，故当x=1时，ymax=1．
∴函数的最大值为1．
22．已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，…．
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）由数列递推式，求倒数，再作变形，即可证得结论；
（2）利用（1）的结论，根据等比数列的通项公式，可得{an}的通项公式．
【解答】（1）证明：∵an+1=，∴=，∴
∴
∵a1=，∴=
∴数列{}是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知， =，∴．