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- 2021-06-02 发布
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高一数学试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1.集合，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题主要考查的是集合的运算。由条件可知，所以。应选A。
2.设，则（ ）
A. B. 0 C. D. -1
【答案】A
【解析】
试题分析：，，．即．故选A．
考点：分段函数．
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：函数的定义域需满足，解得，故选D
考点：函数的定义域
4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递减是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
逐一考查函数的性质：
A.，函数是非奇非偶函数，且在区间上单调递增，不合题意；
B.，函数是奇函数，且在区间上不具有单调性，不合题意；
C.，函数是偶函数，且在区间上单调递增，不合题意；
D.，函数是偶函数，且在区间上单调递减，符合题意；
本题选择D选项.
5.幂函数,当时为减函数，则的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. -1或2 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用幂函数的定义和性质直接求解．
【详解】解：∵幂函数，当时为减函数，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查幂函数定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．
【详解】解：由对数和指数的性质可知，
故选：D．
【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．
7.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【详解】选项B、C、D中的两个函数的定义域都不相同，
所以不是同一函数；
因的定义域相同,且解析式也相同,是同一函数，
故应选A．
8.若函数在区间上是增函数，则的最小值是（ ）
A. B. 7 C. D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】
由于在区间上是增函数可得，即可得出的取值范围，再利用一次函数的单调性即可得出的最小值．
【详解】函数开口向上，对称轴为，
由函数在区间上是增函数可得，即，
∴．
∴的最小值是25，故选D．
【点睛】本题主要考查了由二次函数的单调性求参数的范围，一次函数的单调性是解题的关键，属于中档题.
9.设函数f(x)＝ 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用， ，求得，，
在同一坐标系中作出f(x)的图像与的图像，由图得解。
【详解】∵当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴ 解得，
∴f(x)＝x2＋4x＋2 (x≤0)，作出f(x)的图像．
y＝f(x)与y＝x的交点的个数即为f(x)＝x解的个数，共3个．
【点睛】本题主要考查方程解的个数问题，一般转化为初等函数图像交点个数问题处理。
10.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：函数的定义域是，排除B，C，是减函数，排除D，只有A符合．故选A．（也可从函数值的正负考虑排除D）．
考点：函数的图象．
11.奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是( ).
A. (－∞，－1)∪(0，1) B. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
C. (－1，0)∪(0，1) D. (－1，0)∪(1，＋∞)
【答案】A
【解析】
考点：奇偶性与单调性的综合．
分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果．
解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）
故选A．
12.已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分段函数在上为递减函数,列式解不等式组可得.
【详解】因为是上的减函数,
所以,即,解得,
故选:C.
【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题.
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13._________________
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数式的运算性质计算即可．
【详解】解：原式，
故答案：．
【点睛】本题考查对数式的运算性质，关键在于公式的使用，如，等，是基础题．
14.已知集合,若且则为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，解方程组即可求出的值．
【详解】解：由，可得．
故为，
故答案为：．
【点睛】本题考查集合的含义，考查学生的计算能力，比较基础．
15.设为函数的反函数，则_____.
【答案】
【解析】
不妨设f(t)=2,所以，解得，所以，填。
【点睛】
原函数过（a,b）点，反函数一定过（b,a）点。所以要求，只解方程f(t)=2.
16.函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.
【详解】函数，
所以真数位置上的在上恒成立，
由一次函数保号性可知，，
当时，外层函数为减函数，
要使为减函数，则为增函数，
所以，即，所以，
当时，外层函数为增函数，
要使为减函数，则为减函数，
所以，即，所以，
综上可得的范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.
三、解答题（本大题6小题，共70分）
17.已知集合，集合．
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围．
【答案】(1);(2).
【解析】
【详解】（1）因为集合，集合，
所以，；
（2）由（1），
因为集合，
.
18.已知函数f(x)=x+2ax+2, x.
(1)当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
(2) 若y=f(x)在区间上是单调 函数，求实数 a的取值范围.
【答案】（1）最大值37, 最小值1 ； (2)a或a
【解析】
（１）因为对称轴为x=1,所以当x=-5时，f(x)取最大值；当x=1时，f(x)取最小值.
(2)因为二次函数对称轴一侧的区间为单调区间，因而可得可得a的取值范围.
19.已知函数是定义在上奇函数，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明函数在区间上是增函数；
(3)解不等式.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，
得到不等式组，解出即可．
【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，，
则函数的解析式：；满足奇函数
（2）证明：设，则
，由于，则，，即，
，则有，
则在上是增函数；
（3）解：由于奇函数在上是增函数，
则不等式即为，
即有，解得，
则有，
即解集为．
【点睛】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．
20.某厂生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年求量为500台，销售的收入函数为（万元）（），其中是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
【答案】（1）；（2）生产475台所得利润最大.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分和两种情况进行讨论，分别根据利润＝销售收入−成本，列出函数关系，即可得到利润表示为年产量的函数；
（2）根据（1）所得的分段函数，分类讨论，分别求出两段函数的最值，然后进行比较，即可得到答案；
【详解】解：（1）当时，产品能售出百台；
当时，只能售出5百台，这时，成本为万元，
依题意可得利润函数为
.
即.
（2）当时，，
∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，；
当时，为上的减函数，
．
综合得，当时，取最大值，
∴年产量为475台时，工厂利润最大．
【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型，本题建立的数学模型为二次函数和分段函数，应用相应的数学知识进行求解．属于中档题．
21.已知函数 ，其中 ，且 .
(1)若，求满足的的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，即，结合函数的单调性可得，从而可得的的取值范围；（2）由不等式，可得，分两种情况讨论，分别结合函数的单调性化简原不等式，进而可得结果.
【详解】（1），
而 ，故 ，得： .
（2），
当时， ；当时，.
故当时，解集为 ；当时，解集为.
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，属于简单题. 对于指数函数,当时，函数递减；当时，函数递增.
22.已知关于的不等式的解集为
(1).求的值;
(2).设函数,求最小的整数,使得对于任意的,都有成立.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件：“的不等式的解集为”得
和是相应方程的根，结合方程根的定义即可求得值．
（2）由（1）得：函数，可得真数部分的范围，根据对于任意的,都有，可得要大于等于的最大值即可，从而求出的范围，进而求出最小的整数．
【详解】解：（1）∵关于的不等式的解集为
∴当或时，，
即
；
（2）由（1）得：函数，
，
因为任意的,都有，
所以要大于等于的最大值
从而，
故最小的整数．
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．属于基础题．