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- 2021-06-02 发布
1
2018-2019 学年度福州市高三第一学期质量抽测
数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．设集合 { | 1}A x x ， { | 0 2}B x x ，则 A B （ ）
A．( , 1) (1,2) B．( , 1) C．( , 2) D．(1,2)
1．答案：D
解析： { | 1} { | 1A x x x x 或 1}x ， { | 0 2}B x x ，所以 (1,2)A B ．
2．已知复数 z 满足 2(1 i) 2 iz ，则 z 为（ ）
A． 5
2 B． 5 C．2 D．1
2．答案：A
解析： 22
2 i2 i 5,(1 i) 21 i
z z
．
3．曲线 ( ) lnf x x x 在点(1,1) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．2 B． 3
2 C． 1
2 D． 1
4
3．答案：D
解析： 1( ) 1f x x
，则 (1) 2f ，故曲线 ( ) lnf x x x 在点(1,1) 处的切线方程为 1 2( 1)y x ，
即 2 1y x ，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为 1(0, 1), ,02
，则切线与坐标轴围成的三角形的面积
为 1 1 112 2 4 ．
4．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 3 2a ， 6 8a ，则 8S （ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
4．答案：B
解析： 1 8
8 3 6
( ) 8 4( ) 4 (2 8) 404
a aS a a ．
5．给出下列说法：
①“
4x ”是“ tan 1x ”的充分不必要条件；
②定义在[ , ]a b 上的偶函数 2( ) ( 5)f x x a x b 的最大值为 30；
2
③命题“ 0x R ， 0
0
1 2≥x x ”的否定形式是“ x R ， 1 2x x ”．其中正确说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．答案：C
解析：由
4x ，可得 tan 1x ，但由 tan 1x ，推不出
4x ，所以“
4x ”是“ tan 1x ”的充分不必
要条件，所以命题①是正确的；
若定义在[ , ]a b 上的函数 2( ) ( 5)f x x a x b 是偶函数，则 5 0 5
0 5
a a
a b b
，则 2( ) 5f x x 在
[ 5,5] 上的最大值为 30，所以命题②是正确的；
命题“ 0x R ， 0
0
1 2≥x x ”的否定形式是“ x R ， 1 2x x ”，所以命题③是错误的．
故正确说法的个数为 2．
6．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的两条渐近线均与圆 2 2 6 5 0x y y 相切，则双曲线C 的
离心率为（ ）
A． 3
2 B． 2
3 C． 6
2 D． 9
4
6．答案：A
解析：双曲线的渐近线方程为 by xa ，即 0bx ay ，圆 2 2 6 5 0x y y 化为标准方程是
2 2( 3) 4x y ，若渐近线与此圆相切，则
2 2
3 3 2a a
ca b
，即 3
2
ce a ．
7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多
项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式
值的一个实例，若输入 n ， x 的值分别为 3、3，则输出v 的值为（ ）
A．143 B．48 C．16 D．5
开始
输入n,x
1v
1i n
1i i
v vx i
i≥0？
输出v
结束
是否
3
7．答案：B
解析： 3, 3, 1, 2 1 3 2 5, 1 5 3 1 16, 0n x v i v vx i i v vx i i
16 3 0 48, 1v vx i i ，不满足条件，退出循环，输出 48v ．
8．某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为（ ）
1
2
1
1
正视图 侧视图
俯视图
A． 2 B．1 C． 3
2 D． 6
2
8．答案：D
解析：根据三视图，还原几何体的直观图如图中 S ABCD 所示，其中 SA 平面 ABCD ，四边形 ABCD
是直角梯形，且 , // , 1, 2AB AD AD BC SA AB BC AD ，则 2, 3, 2SB SC CD ，
5SD ，则 SCD△ 是直角三角形，所以 1 2 6, , 1,2 2 2SAB SBC SAD SCDS S S S △ △ △ △ ，因此面积最
大的侧面的面积为 6
2
．
S
A
B C
D
9．已知点O 是 ABC△ 内部一点，且满足OA OB OC O
，又 2 3AB AC
， 60BAC ，则
OBC△ 的面积为（ ）
A． 3
2 B．3 C．1 D．2
9．答案：C
解析：由 2 3AB AC
， 60BAC ，可得 1cos 2 32AB AC AB AC BAC AB AC
，
4
所以 4 3AB AC
，所以 sin2 31
ABC AB AC BACS
△ ，又OA OB OC O
，所以O 为
ABC△ 的重心，所以 1 13OBC ABCS S △ △ ．
【拓展结论】在 ABC△ 中（O 为 ABC△ 所在平面内一点）
（1）OA OB OC O O
为 ABC△ 的重心；
（2） 0OA OB OB OC OC OA O
为 ABC△ 的垂心；
（3） aOA bOB cOC O O
为 ABC△ 的内心（ , ,a b c 分别是 ABC△ 的三个内角 , ,A B C 所对的
边）；
（4） 2 2 2
OA OB OC O
为 ABC△ 的外心；
（5）若 , [0, )AB ACAP
AB AC
点 P 的轨迹经过 ABC△ 的内心；
（6）若 , [0, )
cos cos
AB ACAP
AB B AC C
点 P 的轨迹经过 ABC△ 的垂心；
（7）若 , [0, )
sin sin
AB ACAP
AB B AC C
点 P 的轨迹经过 ABC△ 的重心．
10．已知函数 2( ) 3 sin 2 2cos 1f x x x ，将 ( )f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 1
2
，纵
坐标保持不变；再把所得图象向上平移 1 个单位长度，得到函数 ( )y g x 的图象，若 1 2( ) ( ) 9g x g x ，
则 1 2x x 的值可能为（ ）
A．
3
B．
2
C． 3
4
D． 5
4
10．答案：B
解析： 2( ) 3 sin 2 (2cos 1) 3 sin 2 cos 2 2sin 2 6f x x x x x x
，将函数 ( )f x 的图象上的
所有点的横坐标缩短到原来的 1
2
，纵坐标保持不变；则函数图象对应的解析式变为 2sin 4 6y x
，
再把所得图象向上平移 1 个单位长度，得到函数 ( ) 2sin 4 16g x x
，则函数 ( )g x 的值域为[ 1,3] ，
又 1 2( ) ( ) 9g x g x ，所以 1 2 max( ) ( ) ( ) 3g x g x g x ，则 1 2 ,x x kT k Z ，又 2
4 2T ，
所以 1 2 ( )2
kx x k Z ．
11．如图，函数 ( )f x 的图象为两条射线CA ，CB 组成的折线，如果不等式 2( )≥f x x x a 的解集中
5
有且仅有 1 个整数，那么实数 a 的取值范围是（ ）
O
B
C
y
x
A
2
2
1
A．{ | 2 1}a a B．{ | 2 1}≤a a
C．{ | 2 2}≤a a D．{ | 2}≥a a
11．答案：B
解析：根据题意可知 2 2, 0( ) 2, 0
x xf x x x
≤
，不等式 2( )≥f x x x a 等价于 2 ( )a x x f x ≥ ，
令
2
2
2
3 2, 0( ) ( )
2, 0
x x xg x x x f x
x x
≤
，作出函数 ( )g x 的大致图象，如图所示，
又 (0) 2, (1) 1, ( 1) 2g g g ，所以要使不等式的解集中有且仅有 1 个整数，则 2 1a ≤ ，即实
数 a 的取值范围是{ | 2 1}≤a a ．
12．已知函数 3 2( ) 2 lnf x x ex mx x ，若 ( )f x x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 2 1 1,e e
B． 2 10, 1e e
C． 2 1, 1e e
D． 2 1,e e
12．答案：A
解析：由 ( )f x x 恒成立，得 3 22 lnx ex mx x x 恒成立，得 3 22 ( 1) ln 0x ex m x x 恒成立，
因为 0x ，两边同时除以 x ，得 2 ln2 ( 1) 0xx ex m x ，则 2ln1 2xm x exx 恒成立，
6
设 2ln( ) 2xg x x exx ，则 2
1 ln( ) 2 2xg x x ex
，当0 x e 时， 2
1 ln 0, 2 2 0x e xx
，
所以 ( ) 0g x ；当 x e 时， 2
1 ln 0,2 2 0x e xx
，所以 ( ) 0g x ．
所以当 x e 时， 2
max
1( )g x ee ，则 211m ee ，所以 2 1 1m e e ．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．已知实数 x ， y 满足条件
2
2 2
1
≤
≥
≤
y x
x y
x
，则 x y 的最大值为 ．
13．答案：3
解析：作出可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 1(1,0), ,1 , (1,2)2A B C
，设 z x y ，
则 31, , 32A B Cz z z ，则 max 3Cz z ．
O
A
B
C
x
y
14．甲、乙、丙三位同学独立解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为 1 1 1, ,2 3 4
，
则有人能够解决这个问题的概率为 ．
14．答案： 3
4
解析：这个问题没有被解决的概率为 1 1 1 11 1 12 3 4 4
，故有人能够解决这个问题的概率为
1 31 4 4 ．
15．已知抛物线 2 8y x 的焦点为 F ，直线l 过 F 且依次交抛物线及圆 2 2( 2) 1x y 于 A ，B ，C ，D
四点，则 4AB CD 的最小值为 ．
7
15．答案：13
解析：抛物线 2 8y x 的焦点为 (2,0)F ，圆 2 2( 2) 1x y 的圆心为(2,0) ，与抛物线的焦点重合，且半
径为 1，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y D x y ，因为直线 AD 过焦点 F ，所以 1 2 4x x ，因为
1 2 1 24 1 4 1 4 5 ( 2) 4( 2) 5 4 5AB CD AF DF AF DF x x x x
1 22 4 5 2 4 4 5 13x x ≥ ，当且仅当 1 24x x ，即 1 24, 1x x 时取等号，故 4AB CD 的最
小值为 13．
【归纳总结】抛物线C 的方程为 2 2 ( 0)y px p ，过其焦点 ,02
pF
的直线交抛物线于
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点，则：
（1）
2
2
1 2 1 2,4
px x y y p ；
（2） 1 2 1 2, ,2 2
p pAF x BF x AB x x p ；
（3）若直线 AB 的倾斜角为 ，点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方，
则 2
2 1 1 2, , ,1 cos 1 cos sin
p p pAF BF AB AF BF p
；
（4）以 AB 为直径的圆与其准线相切，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切．
16．函数 ( ) cos 2 (sin cos )f x x x x 在区间 0, 2
上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
16．答案：[ 2, )
解析：因为 ( ) cos 2 (sin cos )f x x x x 在区间 0, 2
上单调递增，
所以 ( ) 2sin 2 (cos sin ) 0f x x a x x ≥ 在区间 0, 2
上恒成立，因为 0, 2x
，
所以cos sin 0x x ， 2sin 2
sin cos
xa x x
≥ 在区间 0, 2
上恒成立，令 2sin 2 4sin cos( ) sin cos sin cos
x x xg x x x x x
，
令 sin cost x x ，则 24sin cos 2( 1)x x t ，又 sin cos 2 sin , 0,4 2t x x x x
，
8
所以 [1, 2]t ，故函数
22 2 2( ) 2th t tt t
，函数 ( )h t 在 [1, 2]t 时单调递增，所以当 2t 时，
( )h t 取得最大值 max( ) 2h t ，故 max( ) 2g x ，所以 2a≥ ，所以实数 a 的取值范围是[ 2, ) ．
三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 如图，在 ABC△ 中， M 是边 BC 的中点， 5 7cos 14BAM ， 2 7cos 7AMC ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 21AM ，求 AMC△ 的面积．
A
B
C
M
17．解析：（1）由 5 7cos 14BAM ，得 21sin 14BAM ，
由 2 7cos 7AMC ，得 21sin 7AMC ，又 AMC BAM B ，
所以，cos cos( ) cos cos sin sinB AMC BAM AMC BAM AMC BAM
2 7 5 7 21 21 1
7 14 7 14 2 ，
又 (0, )B ，所以 2
3B ．
（2）解法一：由（Ⅰ）知 2
3B ，在 ABM△ 中，由正弦定理，得
sin sin
AM BM
B BAM
，
所以， sin
sin
AM BAMBM B
2121 14 3
3
2
．
因为 M 是边 BC 的中点，所以， 3MC ．
故 1 sin2AMCS AM MC AMC △
1 21 3 321 32 7 2 ．
解法二：由（Ⅰ）知 2
3B ，在 ABM△ 中，由正弦定理，得
sin sin
AM BM
B BAM
，
所以， sin
sin
AM BAMBM B
2121 14 3
3
2
．
因为 M 是边 BC 的中点，所以， AMC ABMS S△ △ ，
9
所以， 1 1 21 3 3sin 21 32 2 7 2AMC ABMS S AM BM BMA △ △ ．
18． 在数列{ }na 中， 1 1a ， 1 1
n
n
n
aa a
，设 1 , Nn
n
b na
．
（1）求证数列{ }nb 是等差数列，并求通项公式 nb ；
（2）设 12n
n nc b ，且数列{ }nc 的前 n 项和 nS ，若 R ，求使 1≤n nS c 恒成立的 的取值范围．
18． 证法一：解：（1）由条件知，
1
11 1 1n
n n n
a
a a a
，所以，
1
1 1 1
n na a
，所以 1 1n nb b ，
又 1
1
1 1b a ，所以，数列{ }nb 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列{ }nb 的通项公式为： nb n ．
证法二：由条件，得 1
1
11 1 1n
n n
n n n n
ab b a a a a
1n
n
a
a
又 1
1
1 1b a ，所以，数列{ }nb 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故数列{ }nb 的通项公式为： nb n ．
（2）由（1）知， 12n
nc n ，
则 0 1 11 2 2 2 2n
nS n ，①
1 22 1 2 2 2 2n
nS n ②
由 ① ② 得，
0 1
0 1 1 2 2 22 2 2 2 2 1 (1 ) 21 2
n
n n n n
nS n n n
，
∴ 1 ( 1) 2n
nS n ，∵ 0nc ，∴ 1n nS c ≤ 恒成立，等价于 1n
n
S
c ≥ 对任意 n N 恒成立．
∵ 1
1 ( 1)2 22 22
n
n
n
n
S n
c n n
，∴ 2 ≥ ．
19． 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB AC ， 1AC BB ， 1 2AB A B AC ， 1 2 2BB ．
（1）求证： 1A B 平面 ABC ；
（2）若 P 是棱 1 1B C 的中点，求直线 1BB 与平面 PAB 所成角的正弦值．
B
AC
B1
A1C1
P
10
19． 解析：（1）证明：∵在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB AC ， 1AC BB ，又 1AB BB B ，
∴ AC 平面 1 1ABB A ，又 1A B 平面 1 1ABB A ，∴ 1AC A B ，
∵ 1 2 2BB ，∴ 1 2 2AA ，∵ 1 2AB A B ，∴ 2 2 2
1 1AB A B AA ，∴ 1A B AB ，
又 AC AB A ，∴ 1A B 平面 ABC ．
（2）解法一：由（1）知，直线 1 1AC ， 1 1A B ， 1BA 两两互相垂直，如图，以 1A 为原点，分别以 1 1AC ， 1 1A B ，
1BA 所在直线为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系 1A xyz ，
则 1(0,0,0)A ， (1,1,0)P ， (0,0, 2)B ， 1(0, 2,0)B
1 1 (0,2,0)AB A B
， ( 1, 1, 2)PB
，
设平面 PAB 的法向量 ( , , )n x y z
，
则 0
0
n AB
n PB
，所以， 0
2 0
y
x y z
，
取 1z ，则 ( 2,0,1)n
，
又 1 (0,2,2)BB
，设直线 1BB 与平面 PAB 所成角为 ，
则 1
1
1
sin cos ,
| | | |
n BBn BB
n BB
2 10
105 8
．
∴直线 1BB 平面 PAB 所成角的正弦值 10
10
．
解法二：由（Ⅰ）知，直线 1 1AC ， 1 1A B ， 1BA 两两互相垂直，以 A 为原点，分别以 AC 、 AB 、 Az 所在
直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 A xyz ，
则 (0,0,0)A ， 1(0, 2,2)A ， (1,3,2)P ， (0,2,0)B ， 1(0, 4,2)B ， 1(2,2,2)C
1 1 (0,2,0)AB A B
， ( 1, 1, 2)PB
，
设平面 PAB 的法向量 ( , ,z)n x y
，
则 0
0
n AB
n PB
，所以， 0
2 0
y
x y z
，
取 1z ，则 ( 2,0,1)n
，
又 1 (0,2,2)BB
，设直线 1BB 与平面 PAB 所成角为 ，
B
AC
B1
A1C1
P
x
y
z
B
A
C
B1
A1C1
P
x
y
z
11
则 1
1
1
sin cos ,
| | | |
n BBn BB
n BB
2 10
105 8
．
∴直线 1BB 平面 PAB 所成角的正弦值 10
10
．
20． 已知点 31, 2A
在椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b 上，O 为坐标原点，直线 2 2
3: 12
x yl a b 的斜
率与直线OA 的斜率乘积为 1
4 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）不经过点 A 的直线 3: 2l y x t （ 0t 且 Rt ）与椭圆C 交于 P ，Q 两点，P 关于原点的对称
点为 R （与点 A 不重合），直线 AQ ， AR 与 y 轴分别交于两点 M ， N ，求证： AM AN ．
20． 解析：（1）由题意，
2 2
1 22
3 2 1
2 43OA
b bk k aa
，
即 2 24a b ① 又 2 2
1 3 14a b ②
联立①①解得 2
1
a
b
，所以，椭圆C 的方程为：
2
2 14
x y ．
（2）设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， 1 1( , )R x y ，由
2
2
3
2
14
y x t
x y
，
得 2 23 1 0x tx t ，所以 24 0t ，即 2 2t ，又因为 0t ，所以， ( 2,0) (0, 2)t ，
1 2 3x x t ， 2
1 2 1x x t ，
解法一：要证明 AM AN ，可转化为证明直线 AQ ， AR 的斜率互为相反数，只需证明 0AM ANk k ，
即证明 0AQ ARk k ．
1 2
1 2
3 3
2 2
1 1AQ AR
y y
k k x x
1 2 2 1
1 2
3 3( )( 1) ( )( 1)2 2
( 1)( 1)
y x y x
x x
1 2 2 1
1 2
3 3 3 3( )( 1) ( )( 1)2 2 2 2
( 1)( 1)
x t x x t x
x x
1 2 1 2
1 2
3 ( ) 3
( 1)( 1)
x x t x x
x x
2
1 2
3( 1) ( 3 ) 3 0( 1)( 1)
t t t
x x
12
∴ 0AM ANk k ，∴ AM AN ．
解法二：要证明 AM AN ，可转化为证明直线 AQ ， AR 与 y 轴交点 M 、 N 连线中点 S 的纵坐标为
3
2 ，即 AS 垂直平分 MN 即可．
直线 AQ 与 AR 的方程分别为：
2
2
3
3 2: ( 1)2 1AQ
y
l y xx
，
1
1
3
3 2: ( 1)2 1AR
y
l y xx
，
分别令 0x ，得
2
2
3
32
1 2M
y
y x
，
1
1
3
32
1 2N
y
y x
而
2 1
2 1
3 3
2 2 31 1M N
y y
y y x x
，同解法一，可得 3M Ny y
3
2 2
M N
S
y yy ，即 AS 垂直平分 MN ．所以， AM AN ．
21． 设函数 1( ) ( 1) xf x ax e ．
（1）当 0a 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当 1a 时，若函数 ( )f x 与函数 2 4 ( )Ry x x m m 的图象总有两个交点，设两个交点的横坐标
分别为 1x ， 2x ．
①求 m 的取值范围；
②求证： 1 2 4x x ．
21． 解：（1）由已知得， 1 1( ) x af x ae x a
，
由 0xe ， 0a ，令 ( ) 0f x 得： 1ax a
，令 ( ) 0f x 得， 1ax a
，
所以，当 0a 时，单调递增区间是 1, a
a
；单调递减区间是 1,a
a
．
（2）令 2 1 2( ) ( ) 4 ( 1) 4xg x f x x x m x e x x m ，
∴ 1( ) ( 2)( 2)xg x e x ，
①解法一：由 ( ) 0g x 得， 2x ；由 ( ) 0g x 得， 2x 易知， 2x 为 ( )g x 的极大值点．
max
1( ) (2) 4g x g me ，当 x 时， ( )g x ；当 x 时， ( )g x ．
由题意，只需满足 max
1( ) 4 0g x me ，∴ m 的取值范围是： 1 4m e ．
解法二： 1( ) ( 2)xf x e x ，由 ( ) 0f x 得， 2x ；由 ( ) 0f x 得， 2x 易知， 2x 为极大值点．
而 2 4 ( )Ry x x m m 在 2x 时取得极小值，
由题意，只需满足 21( ) 2 8f x me ，解得 1 4m e ．
②由题意知， 1x ， 2x 为函数 2( ) ( ) 4g x f x x x m 1 2( 1)e 4xx x x m 的两个零点，由①知，
13
不妨设 1 22x x ，则 24 2x ，且函数 ( )g x 在( , 2) 上单调递增，
欲证 1 2 4x x ，只需证明 1 2( ) (4 )g x g x ，而 1 2( ) ( )g x g x ，
所以，只需证明 2 2( ) (4 )g x g x ．
令 ( ) ( ) (4 ) ( 2)H x g x g x x ，则 1 3( ) ( 1) ( 3)x xH x x e x e
∴ 3 1( ) ( 2)( )x xH x x e e ，∵ 2x ，∴
3
2 4
1 1
x
x
x
e ee
，即 3 1 0x xe e
所以， ( ) 0H x ，即 ( )H x 在(2, ) 上为增函数，所以， ( ) (2) 0H x H ，
∴ 2 2( ) (4 )g x g x 成立，所以， 1 2 4x x ．
请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个
题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
0
3 cos
sin
x t
y y t
（t 为参数， 为l 的倾斜角），以
原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 4sin ，直线 ，
3
， ( )3 R ，与曲线 E 分别交于不同于极点O 的三点 A ， B ，C ．
（1）若 2
3 3
，求证： OB OC OA ；
（2）当 5
6
时，直线l 过 B 、C 两点，求 0y 与 的值．
22． 解：（1）证明：依题意， 4sinOA ， 4sin 3OB
， 4sin 3OC
，
∵ 2
3 3
，∴ 4sin 4sin 4sin3 3OB OC OA
．
（2）当 5
6
时，直线
3
与圆的交点 B 的极坐标为 7 7 74sin , 2, 2,6 6 6 6
，
直线
3
与圆的交点C 点的极坐标为 4sin , 4,2 2 2
从而， B 、C 两点的直角坐标分别为： ( 3,1)B ， (0, 4)C
∴直线l 的方程为： 3 4y x ，所以， 0 1y ， 2
3
．
23． 已知函数 ( ) 2 3f x x a a ， Ra ．
（1）若对于任意 Rx ，总有 ( ) (4 )f x f x 成立，求 a 的值；
（2）若存在 Rx ，使得 ( ) 2 1≤f x x a 成立，求 a 的取值范围．
23． 解：（1）因为 ( ) (4 )f x f x ， xR ，所以 ( )f x 的图象关于 2x 对称，
又 ( ) 2 32
af x x a 的图象关于
2
ax 对称，
14
所以 22
a ，所以， 4a ．
（2） x R ，使得 ( ) | 2 1|f x x a ≤ 等价于 x R ，使得 2 2 1 2 0x a x a ≤ ．
等价于 min
2 2 1 2 0x a x a ≤ ，
设 ( ) 2 2 1 2g x x a x a ，则 min( ) (2 ) (2 1) 2 1 2g x x a x a a a ，
所以， 1 2 0a a ≤ ．
当 1a ≥ 时， 1 2 0a a ≤ ， 1
3a ≤ ，所以， 11 3a ≤ ≤ ；
当 1a 时， 1 2 0a a ， 1a ，所以 1a ，
综上， 1
3a ≤ ．
解法二：（1）∵ ( ) (4 )f x f x ，∴ 2 3 2(4 ) 3x a a x a a ，
∴ 2 8 2x a x a ，即 2 (8 2 )x a x a ，或 2 8 2x a x a （舍）
所以， 4a ．
（2）由 ( ) 2 1f x x a ≤ 得， 2 2 1 2x a x a ≤ ，
而 2 2 1 1x a x a ≥ ，由题意知，只需满足 1 2a a ≤ ，即 2 1 2a a a ≤ ≤
即 2 1
1 2
a a
a a
≤
≤ ，∴ 1
3
≤a ．