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- 2021-06-02 发布
2017-2018 学年福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1.不等式 的解集为 （ ）
A. B.
C. D.
2．下列结论正确的是 ( )
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
3. 已知等比数列{ }的前 项和 , ，则 的值为 ( )
A.1 B. C. 1 或 D. 1 或
4. 的内 所对的边分别为 ，已知 ，则 ＝ ( )
A． B． C． D．
5. 在 中，若 ，则该三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B. 等边三角形
C.直角三角形 D. 等腰直角三角形
6. 在数列 中， ，则 ( )
A. B. C. D.
7.在各项都不为 0 的等差数列{ }中, ,数列 是等比数列,且 ,则
= ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
8． 的内 所对的边分别为 ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是
（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
0322 ≥−+ xx
{ | 3 1}x x x≤ − ≥或 }31|{ ≤≤− xx
{ | 1 3}x x x≤ − ≥或 }13|{ ≤≤− xx
a b> ac bc> a b> 2 2a b>
, 0a c b c c+ < + < a b> a b> a b>
na 3 3 21S = 3 7a = q公比
1
2
− 1
2
− 2−
ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c 25, 2,cos 3a c A= = = b
3 2 3 2
ABC∆ lgsin lgcos lgsin lg 2A B C− − =
{ }na 1 2 2 1n
na a a+ + + = − *( )n∈N 2 2 2
1 2 na a a+ + + =
( )2n2 -1 ( )n1 4 -13
n4 -1 ( )2n1 2 -13
na 2
3 7 112 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a=
6 8b b
ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c
6b = 30A = ° °= 60C 3a = 2c = °= 60B
7=a 5=b °= 60A 3a = 4b = °= 45A
9. 已知函数 的图象过定点 ,且点 在直线
上,则 的最小值为 ( )
A.2 B.8 C.9 D.10
10. 已知实数 满足约束条件 ，若 的最大值为 12,则
的最小值为( )
A.-3 B.-6 C.3 D.6
11. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,且 有最小值,那么以下四个结论：
①公差 ；② ；③ ；④当 =18 时， 取得最小正值．
其中正确的是 （ ）
A．①② B. ①④ C.①③ D. ②③
12. 已知函数 ( >0，且 ≠1)．若数列 满足
＝ ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 在等比数列 中,若 = .
14. 的内 所对的边分别为 ，已知 是公差为 4 的等差数列，且
的最大内角为 ，则最大边的长度为________.
15.对于任意 ，都有 恒成立，则实数 取值范围是 .
16. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)：设
是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 8．若
=2018，则 i，j 的值分别为______，________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
17. （本题满分 10 分）
已知 ，
（I）解关于 的不等式 ；
(Ⅱ）若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的值．
1 3( 0 1)xy a a a−= + > ≠且 A A
( )1 0, 0x y m nm n
+ = > > m n+
,x y
2 0
0
0
x y
x y
y k
+ ≥
− ≤
≤ ≤
z x y= +
z
{ }na n nS 10
9
1a
a
< − nS
0d > 10 9 0a a+ < 17 0S > n nS
( ) ( )
22 9 11
3 2, 2,
, 2x x
a x x
f x
a x− +
− + ≤=
>
a a { }na
na ( )f n ( )*n∈N { }na a
( )0,1 8 ,33
( )2,3 ( )1,3
{ }na 3 7 54, 1,a a a= = 则
ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c , ,a b c ABC∆
120
x ∈ R 2 2 1 0ax ax− + > a
,i ja *( )i j ∈N、 4,2a = ,i ja
( ) ( )23 1 9f x x a a x= − + − + ( )a∈R
a ( )1 0f >
x ( )f x b> ( )3,1− ,a b
18.（本题满分 12 分）
已知等差数列 的公差为 ，且 成等比数列．
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 的最小值，并求此时 的值.
19. （ 本 题 满 分 12 分 ） 的 内 所 对 的 边 分 别 为 ． 已 知
，
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 的面积为 ，求 的最小值．
20. （本题满分 12 分）
已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立，
（I）证明:数列 是等比数列,并求出数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和 .
21. （本题满分 12 分）
如图,在海岛 上有一座海拔 千米的山,山顶设有一个观察站 ,上午 11 时,测得一轮船在岛北偏
东 ,俯角为 的 处,到 11 时 10 分
又测得该船在岛北偏西 ,俯角为 的 处.
(I) 求船的航行速度是每小时多少千米?
(Ⅱ)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的
处,问此时船距岛 有多远?
{ }na
{ }na
{ }na
{ }na
{ }na
2 1 2 411, 11, 11a a a+ + +
n nS n
ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c
3 sin cosa C c A c− ⋅ =
A
ABC∆ 4 3 a
n nS 1 (3 )2n na n S= + n
{ }3na +
( )33n n
nb a= + { }nb n nB
A 3 P
30 30 B
60 60 C
D A
22.（本题满分 12 分）
已知正项数列 的首项为 1，其前 项和为 ,满足 ＋ ( ≥2)．
（I）求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
{ }na n nS =na nS 1nS − n
{ }nS { }na
1
1
n na a +
n nT *n∈N 2 1
2nT a a< −
a
闽侯二中五校教学联合体
2017—2018 学年第一学期高二数学（理科）半期考试卷参考答案
1-6：ADCAA B 7-12： DDCBBC
13. 2 14. 14 15. 16. 64 , 2
18. 解 (1)由题意，得 ， ， ┄┈┈ 2 分
所以由
得
解得 ┄┈┈4 分
所以 ，即 ┄┈┈ 6 分
(2)由(1)知 ，
，
[ )0,1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
17. 1 1 3 1 9 1
1 0 3 1 9 0
6 0 3
3 2 0
2 3 4
-2,3 5
2 (1 ) 9 3 1 9 0
-3,1
3 1 9 0 3,1
1 3 13
9
3
f a a
f a a
a a
a a
a
f x b a a x b x a a x b
x a a x b
a a
b
= − + − +
∴ > − + − + >
∴ − − <
∴ − + <
∴− < <
> + − + > + − + − <
∴ + − + − = −
−− = − +
−
分
即
分
分
故不等式的解集为 分
不等式 可化为- 3x 即
不等式的解集为
方程 的两个根分别为 2分
┄┈┈
┄┈┈
┄┈┈
┄┈┈
┄┈┈
┄┈ 3分┈
故
3 1
2 3, 50 0
a a
b b
= − ×
= − = ∴ = =
┄┈┈或 分
2 111 13a a+ = + 4 111 17a a+ = +
( ) ( )( )2
2 1 411 11 11a a a+ = + +
( ) ( )( )2
1 1 113 11 17a a a+ = + +
1 9a = −
( )9 2 1na n= − + − 2 11na n= − ( )*n∈N
2 11na n= −
( )
( )
2
2
-9+2 -11 10 10 92
5 25 10
5 12
n
n
n
nS n n n n n
S n
n S
= = − = −
∴ = − −
=
分
分
故当 时 取最小值- 25.
┄┈┈
┄┈┈
┄┈┈ 分
20.（1）由已知得 ①，
②
由②-①得： ，即
┄┈┈3 分
又 ，解得
所以数列 是以 6 为首项，2 为公比的等比数列。┄┈┈ 4 分
故 ，即 ┄┈┈6 分
（3） ┄┈┈7 分
设 ③
④┄┈┈9 分
④- ③得：
= ┄11 分
┄┈┈12 分
21. (1)在 中, ,
所以 AB=3 ┄┈┈2 分
在 中, ┄┈┈3 分
19. 1 3 sin cos
3sin sin sin cos sin 2
sin 0
3sin cos 1
3 12 sin cos 2 sin cos cos sin 2sin 1 42 2 6 6 6
1
6 2
= 66 6 3
a C c A c
A C C A C
C
A A
A A A A A
A
A ABC
A
π π π
π
π π π
− ⋅ =
− =
≠
∴ − =
∴ − = − = − =
∴ − =
∴ −
（）
由正弦定理，可得
分
分
si n
又 为△ 的内角
, 故A=
┄┈┈ ┄┈┈
┄┈┈
┄┈┈ 分
2 2 2
1 32 = sin 4 3 72 4
16 8
2 16 10
bc A bc
bc
ABC
a b c bc bc bc bc
= =
∴ =
= + − ≥ − = =
（ ）S 分
分
在△ 中，由
┄┈┈
┄┈┈
┄
余弦 理
┈┈
定 知
分
4b c a= =当且仅当 时等号成立，此时 取最小值 为 4. 12┄┈┈ 分
nas nn 32 −=
)1(32 11 +−= ++ nas nn
321 +=+ nn aa )3(231 +=++ nn aa
1 3 23
n
n
a
a
+ +∴ =+
1 1 12 -3a s a= = 1 13, 3 6 0a a= ∴ + = ≠
{ }3+na
1263 −⋅=+ n
na )12(3 −= n
na
( )3 2 3 3 23
n n
n
nb n= ⋅ × − + = ⋅
2 31 2 2 2 3 2 2n
nB n= × + × + × + + ×
2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 ( 1)2 2n n
nB n n += × + × + × + + − + ⋅
2 3(2 2 2nB = − + + + +
12 ) 2n nn ++ ⋅
1
1 12 2 2 2 ( 1)21 2
n
n nn n
+
+ +−− + = + −−
12 ( 1)2n
nB n +∴ = + −
Rt PAB∆ 60 , 3APB PA∠ = =
Rt PAC∆ 030 , 1APC AC∠ = ∴ =
在 中,
所以
= ┄┈┈5 分
则船的航行速度为 千米/时). ┄┈┈6 分
(2)在 中,
由正弦定理得
所以 ，┄┈┈┄┈┈┄┈┈11 分
故此时船距岛 A 有 千米. ┄┈┈┄┈┈┈┈┄┈┈┄┈┈12 分
22. 解 (1)因为 ，
┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈2 分
即 ，┄┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈3 分
所以数列{ }是首项为 1，公差为 1 的等差数列，得 ┄┈4 分
所以 ┄┈┈┄┈┈┄┈┈5 分
， 也适合，
所以 ；┄┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈6 分
(2)因为 ，┄┈┈┄┈┈┄8 分
ACB∆ 30 60 90CAB∠ = + =
2 2BC AC AB= +
2 23 1 10+ =
10 6 101
6
=
ACD∆ 0 0 090 60 30DAC∠ = − =
sin sin(180DCA∠ = − 3 3 10) sin 81010
ABACB ACB BC
∠ = ∠ = = = 分
( )
0 0 0
2
sin sin( -30 ) sin cos30 cos sin30
3 10 3 1 3 10110 2 2 10
3 3 1 10
1020
CDA ACB ACB ACB∠ = ∠ = ∠ − ∠
= × − × −
−
= ┈┄┈┈┄ 分
sin sin
AD AC
DCA CDA
=∠ ∠
( )
3 10 1sin 9 3 310
sin 133 3 1 10
20
AC DCAAD CDA
×∠ += = =∠ −
9 3 3
13
+
1n n na S S −= +
1
1 1
2
= +
n n n
n n n n
n a S S
S S S S
−
− −
≥ = −
∴ −
又 当 时，
1 =1n nS S −−
nS nS n=
( )1 1 2 1 2n n na S S n n n n−= + = + − = − ≥
1n =又 当 时 1 1a =
2 1na n= −
1
1 1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n+
= = − − + − +
所以， ┈ ┈10 分
.∴
要使不等式 恒成立，只需 恒成立，
解得 ，
故实数 的取值范围是 ┄┈┈┄┈┈┄┈┈12 分
1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1nT n n n
= − + − + + − = − − + +
1
2nT <
2 1
2nT a a< − 21 1
2 2a a≤ −
1 12a a≤ − ≥或
a [ )1, 1,2
−∞ − +∞