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- 2021-06-02 发布
数学（理）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）．
A． B． C． D．
2.已知集合，则等于（ ）．
A． B． C． D．
3. 下列说法正确的是（ ）．
A．，“”是“”的必要不充分条件
B．“且为真命题”是“或为真命题” 的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是：“”
D．命题：“”，则是真命题
4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量和是否有关系时，通过查阅下表来确定“和有关系”的可信度．如果，那么有把握认为“和有关系”的百分比为（ ）．
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A． 5% B． 75% C． 99.5% D．95%
5.已知向量，若，则（ ）．
A．1 B． C． D．2
6.设，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布．（ ）
A． B． C． D．
8. 一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）．
A． B． C．9 D．10
9.若正数满足：，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
10.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）．
A． B．
C． D．
11.已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点
，给出以下判断：
①一定是钝角三角形 ②可能是直角三角形
③可能是等腰三角形 ④不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是（ ）．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
12.已知函数有两个极值点，若，则关于方程的实根个数不可能为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题，90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若实数满足不等式组，则的最小值是____________．
14.设，则____________．
15.已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则____________．
16.定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
设锐角三角形的内角的对边分别为.
（1）求的大小；
（2）求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.
（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（2）求的分布列及期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，其中的离心率为.
（1）求的值；
（2）过点的直线与分别交于点 (均异于点)，是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分.
22.（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，其中点的极坐标为.
（1）求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）求的最大值．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
D
D
A
B
C
A
C
B
D
二、填空题
13. -1 14. 33 15.0 16. 或
三、解答题
17.解：（1）由，根据正弦定理得，∴，
由为锐角三角形得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
由此有，∴的取值范围为
．．．．．．．．．．．12分
18.解：（1）由表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）的可能取值为200元，250元，300元，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
的分布列为：
200
250
300
0.4
0.4
0.2
元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．解法一：（1）∵平面平面，∴，
又，
∴，∴，即（为与交点）．
又，∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）
过作，垂足为，连接．
∵平面是在平面上的射影，由三垂线定理知，
∴为二面角的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分
又，
∴，，
又，∴，
由得．
在中，，由此可得余弦值为．
∴二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
解法二：（1）如图，建立坐标系，
则，
∴，∴，
∴，
又，∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设平面的法向量为，
则，
又，
∴，解得，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
平面的法向量取为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
．
∴二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.解：（1）在的方程中，令，可得，且是上半椭圆的左、右顶点，
设半焦距为，由及可得，∴．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）方法一：由（1）知，上半椭圆的方程为，
易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为，
代入的方程，整理得：（*）
设点的坐标为，∵直线过点，∴是方程（*）的一个根，
由求根公式，得，从而，∴点的坐标为，
同理，由，得点的坐标为．．．．．．．8分
依题意可知，∴．
∵，∴，即，
∵，∴，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
经检验，符合题意，故直线的方程为．．．．．．．．．．．．12分
方法二：若设直线的方程为：，比照方法一给分．
21．解：（1）的定义域为，，
令，其判别式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
①当时，，故在上单调递增，
②当时，的两根都小于0，在上，，
故在上单调递增，
③当时，的两根为，
当时，；当时，；当时，，
故分别在上单调递增，在上单调递减．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，．
因为，
所以，
又由（1）知，．于是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
若存在，使得．则．即，
亦即（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
再由（1）知，函数在上单调递增，而，
所以．这与（*）式矛盾，故不存在，使得．．．．．12分
选做题
22．解：（1）因为点的极坐标为．
所以点的直角坐标为．．．．．．．．．．．．．5分
（2）设：则，
．．．．．．．．．10分
23．解：（1）由，则，所以且，
得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当且仅当，即时取等号；如果采用平方或换元也可，参照给分．