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- 2021-06-02 发布
高二质量调研试题
数 学 2020.01
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；
2. 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
第I卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是等比数列，且，，那么的值等于
A. B. C. D.
2.已知，，那么下列不等式成立的是
A. B. C. D.
3.已知双曲线 的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
4.条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图，在正方体中，，分别是上底棱的中点，与平面所成的角的大小是
A. B. C. D.
6.若正实数，满足，则下列说法正确的是
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最小值4
7.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，
初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢
A．2 B．3 C．4 D．6
8.已知定义域为的奇函数的导函数为，当 时，，
若，，，则，， 的大小关系正确的是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.
9.以下说法正确的有
A. 实数是成立的充要条件
B. 对恒成立
C.命题“，使得”的否定是“，使得”
D.若，则的最小值是
10.如图，在边长为2的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，下列结论正确的是
A.的长度的最大值为 B.的长度的最小值为
C.的长度的最大值为 D.的长度的最小值为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，若，则双曲线的离心率可以是
A. B. C. D.
12.已知函数，若方程有4个零点，则 的可能的值为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 记为等比数列的前项和.若，则___________．
14.正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则 的取值范围是 ．
15.已知函数，则函数的极大值为 ．
16.已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧， （其
中为坐标原点），则△ 与△面积之和的最小值是 ，当△ 与
△面积之和最小值时直线与轴交点坐标为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17.（本小题满分10分）
设为数列的前项和，已知，对任意，都有．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前项和为，求证：．
18.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，平面平面，△为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线方程是．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）．
20.（本小题满分12分）
国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入．据了解，该企业原有100 名技术人员，年人均投入万元．现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100 名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；
（2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入?若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
设椭圆 的左、右焦点分别为，，左顶点为，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，连接并延长交椭圆于点，若，求的值．
22. （本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围．
高二质量调研试题
数学参考答案
一、单项选择题： ADACB DCB
二、多项选择题： 9.BC 10.AD 11.BCD 12.ABC
二、填空题：13. 14. 15. 16.，
三、解答题：
17. 解：（1） 因为，
当 时，， …………………………………………1分
两式相减，得，即，
所以当 时，， …………………………………………2分
所以 ． …………………………………………3分
因为，所以． …………………………………………4分
（2） 因为，令 ，，
所以． ……………………………6分
所以
. …………………………………………7分
因为 ，所以．…………………………………………8分
因为 在上是递减函数，………………………………9分
所以 在上是递增的，所以当 时，取最小值．
所以. …………………………………………10分
18. 解：（1） 因为，，
所以四边形是平行四边形． ………………………………1分
所以． ………………………………2分
因为 平面，平面，
所以 平面． ………………………………………………4分
（2）取的中点，连接，
因为，所以．
因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面． ……………………………6分
以点为坐标原点，分别以直线，为轴，
轴建立空间直角坐标系，（如图所示：）
则轴在平面内．
因为， ，
所以，，，，
则 ，． ………………………………9分
设平面的法向量为，
由 得
令，解得，，得． ………………………………11分
由题意得平面的法向量为，
所以．
又因为二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值是 ． ……………………………………12分
19. 解：（1）因为，，……1分
则，，
函数在点处的切线方程为：，……………2分
（直线过点，则），
由题意得 即，． ………………………………4分
（2）由（）得，函数的定义域为，
因为，
所以，， ……………………………6分
所以在上单调递减，在上单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增，……………………………8分
所以在上的最小值为．………………………………9分
又，，且 ．……………………………11分
所以在上的最大值为．
综上，在上的最大值为，最小值为．………………12分
20.解：（1）由题意得：，…………………………3分
解得，
所以调整后的技术人员的人数为． ………………………………4分
（2）因为，，由恒成立，
解得． …………………………………………………………5分
因为 恒成立， ……………………………8分
所以，， 恒成立，………………………10分
因为，当 等号成立， ………………………………11分
所以．
所以存在实数 满足条件．………………………………………………12分
21. 解：（1）设椭圆左焦点，依题意，，
解得，，所以，则椭圆方程为．…………4分
（2）由（1）得，则直线的方程为．………………5分
联立 消去得．……………6分
设，所以，即． ………………7分
所以，则 ；……………………8分
由（1）得，，，． …………………9分
所以直线，直线．
联立 解得． ……………………………10分
代入，得，………………………………11分
解得，即．………………………………………………12分
22. 解：（1）由题意，得． ……………………………1分
①当 时，，在上为增函数；………………………2分
②当 时，当 时，， 在上为减函数，当 时，， 在 上为增函数．
综上所述，当 时，的单调递增区间为；
当时， 的单调递减区间是，单调递增区间是．
………………………………4分
（2）由不等式 ，对恒成立，
即，对 恒成立．……………………5分
构造函数，
则． ………………………………………………6分
又因为， ………………………………………………………………7分
所以
， …8分
①当时， 在上恒成立，在上单调递增，，即，对恒成立．………………9分
②当 时，因为，所以，即 ，．
当 时，
，…10分
因为时，，知 在上为减函数，，即在 上，不存在使得不等式对任意 恒成立．
综上，实数的取值范围是．…………………………………………12分