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- 2021-06-02 发布
涟水中学2017届高三第三次质量检测
数 学 试 卷
考试时间：120分钟 总分：160分
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上.【来源：全,品…中&高*考+网】
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝ ▲ ．
2．若复数是纯虚数，则实数的值是 ▲ ．
3．某地有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已安装安全救助报警系统，调查结果如下表所示：
外来户
原住户
已安装
60
35
未安装
45
60
则该地已安装安全救助报警系统的户数估计有 ▲ 户.
4. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲ .
5．执行如图所示的程序框图，输出 ▲ ．
开始
结束
输出
6.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程
为 ▲ ．
7.已知,则 ▲ .
8．已知在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是9，
则常数的值为 ▲ ．
9. 已知，则= ▲ .
10.设等比数列的前项和为，若，则的值为 ▲
11．设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是 ▲
12.如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦
点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此
椭圆的离心率是 ▲ .
13． 设定义域为R的函数,则关于x的函数 的零点的个数为 ▲ ．
14. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则= ▲ .
二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题纸指定的区域内作答, 解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．中，角A，B,C的对边分别是且满足
（1） 求角B的大小；
（2）若的面积为为，求的值.
16. 如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，,是的中点．
（I）求证：平面；
（II）求证：平面平面；
17．已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2．
（1） 求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，求△面积的最大值．
18.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），上底BC长为（米）.
（1）求关于的函数关系式，并指出其定义域；
（2）要使防洪堤横断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）不超过米，则其腰长应在什么范围内？
（3）当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【来源：全,品…中&高*考+网】
19．设、是函数的两个极值点.
（1）若，求函数的解析式；
（2）若，求的最大值；
（3）设函数，，当时，求证： .
20． 设函数，数列满足．
⑴求数列的通项公式；
⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；
⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．
涟水中学2017届高三第三次质量检测
数 学 试 卷（附加）
考试时间：30分钟 总分：40分
B．选修4-2 矩阵与方程
1. 已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
C．选修4-4坐标系与参数方程
2. 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.
必做题：
3. 如图，平面平面ABC，是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BDBA，,，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．【来源：全,品…中&高*考+网】
A
M
B
C
O
D
E
4. 口袋中有个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若
，求（1）n的值；
（2）X的概率分布与数学期望．
涟水中学2017届高三第三次质量检测
数 学 试 卷 答案
1. 2. 3.9500 4. 5.12
6. 7. 8.1 9. 10.
11. 12. 13.8 14.
15. 解：（1）∵，∴
∴……4分
∵，∴……6分【来源：全,品…中&高*考+网】
又∵……8分
（2），…………11分
∴…………14分
16.（1）………………6分
（2）………………14分
17.解：（1）………………5分
（2）设点，则点M到左右准线的距离分别为
由第二定义，，…………7分
∵圆与椭圆的右准线 有公共点
∴…………9分
又∵△的面积S=…………11分
∴时，S的最小值为………………14分
18．解：⑴，其中，，
∴ ，得， ………………4分
由，得
∴ --------------------6分
⑵外周长为得∵
∴腰长的范围是 --------------10分
⑶，当并且仅当，即时等号成立．
……………………………………14分
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。 ---------------------------16分
19.解：（I）∵，∴
依题意有，∴.
解得，∴. ………………4分
（II）∵,
依题意，是方程的两个根，且，
∴，
即：4，
∴………………6分
∵，∴3. …………8分
设，则
由得2，由得2.
即：函数在区间(0,2)上是增函数，在区间(2,3)上是减函数，
∴当时，有极大值为12，∴在上的最大值是12，
∴的最大值为. ………………10分
（III） 证明：∵是方程的两根，
∴.
∵，，∴.…………12分
∴
∵，即 ∴
∴
.
∴…………16分
20．解：⑴因为，
所以．…………………………………………………………………………2分
因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．
所以．…………………………………………………………………………4分
⑵①当时，
…………………………………………………………………………7分
要使对恒成立，
只要使．
只要使，
故实数的取值范围为．……………………………………………………10分
⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．
①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，
此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．……………………………………………………………………………………12分
②当时，显然不存在这样的数列．
当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．
则，，，．
所以满足条件的数列的通项公式为．……………………………………16分
涟水中学2017届高三第三次质量检测
数 学 试 卷（附加）答案
1. 解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，
即c＋d＝6； ………………………………………3分
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，
即3c－2d＝－2， …………………………………………6分
解得即A＝， …………………………8分
A逆矩阵是
2.解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即，它表示以为圆心，2为半径的圆，…………………………4分
直线方程的普通方程为，………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离，…………………………………………………8分
故直线被曲线截得的线段长度为． …………………10分
3.解：∵，又∵面面，面面，，∴，∵BD∥AE，∴， …………2分
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵，
∴设各点坐标为，，，
，，
则，，，
，，
设平面ODM的法向量，则由
且可得
令，则，，∴，
设直线CD和平面ODM所成角为，则【来源：全,品…中&高*考+网】
，
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为． ……………10分
4.由题知 …………2分
……………………………………4分
（2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，…………5分
所以，X的概率分布表为
X
1
2
3
4
P
所以…………9分
答X的数学期望是 ……………………10分