2019-2020学年江西省南昌市实验中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版） 13页

‎2019-2020学年江西省南昌市实验中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则集合（　　）‎ A．3，1，2，4， B．‎ C．2，3，4， D．3，4，‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合，由此利用集合，集合，能求出集合．‎ ‎【详解】‎ 解：∵集合，集合， ‎ ‎∴集合． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎2．且，则（ )‎ A．2 B．2或-2 C．0或2 D．0或2或-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知条件，或或 时不满足集合元素的互异性，应舍去，‎ 或 故答案选 ‎3．设全集是实数集，，，则如图所示阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 由图可得 故答案选 ‎4．下列集合A到B的对应中，不能构成映射的是（ ）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于①，由于的值可能是4或5，不唯一，且没有值，故①中的对应不能构成映射；对于②，没有值，故②中的对应不能构成映射；对于③，由于的值可能是3或4，不唯一，故③中的对应不能构成映射；对于④，满足，且，满足映射的定义，故④中对应能构成映射，故选A.‎ ‎5．下列函数中，在区间上是增函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数解析式直接判断单调性，即可作出选择.‎ ‎【详解】‎ 在区间上是减函数，‎ 在区间上是减函数，‎ 在区间上是增函数，‎ 在区间上是减函数，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎6．函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是(　　)‎ A．1 B．3 C．5 D．－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】。依题意可得，函数的极小值点，则是的根，所以，解得，故选C ‎7．已知f（x-1）=x2+4x-5，则f（x）的表达式是（　　）‎ A．x2+6x B．x2+8x+7 C．x2+2x-3 D．x2+6x-10‎ ‎【答案】A ‎【解析】求函数解析式，可以采用换元法．设 ，则 ， ，将 换成 ，即 ．‎ 故答案选A．‎ ‎8．函数的图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：函数的定义域为排除C，D，函数是由向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以A正确，故选择A ‎【考点】函数图象的平移 ‎9．设函数，若关于的不等式，如果不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简不等式，再变量分离转化为求二次函数最值，根据函数的单调性，求出函数的最值，最后解不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为， ‎ 所以对任意恒成立，‎ 因为在上为减函数，所以，‎ 所以或（舍）， ‎ 或，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题，考查综合分析转化与求解能力，属中档题.‎ ‎10．函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分段函数单调性得各段单调减且结合点处满足不增，列不等式解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是R上的减函数，‎ 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎11．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以其对应图象为B,‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.‎ ‎12．函数满足,且在区间上的值域是，则坐标所表示的点在图中的（ ）‎ A．线段和线段上 B．线段和线段上 C．线段和线段上 D．线段和线段上 ‎【答案】B ‎【解析】先根据对称性求出，再 ‎【详解】‎ 因为，所以对称轴为，‎ 因为在区间上的值域是，所以 因此.‎ 当时，；对应线段AD;‎ 当时，;对应线段DC,‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数对称性以及根据函数值域求定义域，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知集合，则集合A的真子集的个数是_____________‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】因为集合，则集合A的真子集的个数是23-1=7个，故填写7.‎ ‎14．已知全集U，集合，，则全集____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】全集，集合，所以全集，故答案为.‎ ‎15．函数的值域是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，的开口向下，对称轴为，所以函数的最大值为，最小值为，因为 所以函数的值域为 ，故答案为.‎ ‎16．函数的单调递增区间为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 令，解得或，‎ 函数的定义域为.‎ 内层函数的减区间为，增区间为.‎ 外层函数在上为增函数，‎ 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）A∩B=[-1，2），A∪B=[-2，3]；（2），‎ ‎【解析】（1）根据交集与并集定义分别求解；‎ ‎（2）再（1）基础上，根据补集定义求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵全集U=R，A=[-1，3]，B=[-2，2）．∴A∩B=[-1，3]∩[-2，2）=[-1，2），‎ A∪B=[-1，3]∪[-2，2]=[-2，3]；‎ ‎（2），．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、并集以及补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18．已知 ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2）或 ‎【解析】（1）先代入化简，再根据并集定义求解；‎ ‎（2）先根据补集定义求，再根据集合包含关系，列不等式，解得结果 ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，所以 ‎（2）因为 因为所以，‎ 因为，所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集定义、补集定义以及根据集合包含关系求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．已知二次函数)满足，且.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2) 令，求函数在∈[0，2]上的最小值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．‎ ‎（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设二次函数一般式（），代入条件化简，根据恒等条件得，，解得，，再根据，求.（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设二次函数（），‎ 则 ‎∴，，∴，‎ 又，∴.‎ ‎∴‎ ‎（2）①∵‎ ‎∴.‎ 又在上是单调函数，∴对称轴在区间的左侧或右侧，∴或 ‎②，，对称轴，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，‎ 综上所述，‎ ‎20．已知函数 ‎（1）求的定义域，值域；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）解不等式.‎ ‎【答案】（1）定义域为，值域为；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）分段函数定义域等于各段自变量范围的并集，值域为各段范围的并集，所以求出并集即可得结果；‎ ‎（2）根据自变量范围代入对应解析式，即可得结果；‎ ‎（3）根据自变量范围列三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪.易知f(x)在(0,1)上为增函数，在上为减函数，‎ ‎∴当x＝1时，，又f(0)＝0，，‎ ‎∴值域为.‎ ‎（2），.‎ ‎（3）f(x＋1)>等价于①或 ②或③‎ 解①得 的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数定义域、值域以及解分段函数不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：‎ ‎（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？‎ ‎（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．‎ ‎【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；‎ ‎（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，当时，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或，‎ ‎∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；‎ ‎（2）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎∴；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；‎ 有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；‎ 当自驾人数为时，人均通勤时间最少．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．‎ ‎22．定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．‎ ‎（1）求f（0）的值；‎ ‎（2）求证f（x）在R上是增函数；‎ ‎（3）若f（k•3x）f（3x﹣9x﹣2）＜1对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（0）＝1；（2）见解析；（3）k＜‎ ‎【解析】（1）利用赋值法求f（0）的值；‎ ‎（2）根据增函数定义进行证明，其中利用条件“当x＞0时，f（x）＞1”比较大小是解题关键；‎ ‎（3）先根据单调性化简不等式得32x﹣（1+k）•3x+2＞0，再分离变量转化为求对应函数y=3x+最值,最后根据基本不等式求函数最值，即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令x＝0，y＝1，则f（0+1）＝f（0）f（1），所以f（1）＝f（0）f（1），‎ ‎∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）＝1；‎ ‎（2）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1‎ ‎∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函数；‎ ‎（3）∵f（x）在R上是增函数，f（k•3x） f（3x﹣9x﹣2）＝f（k •3x+3x﹣9x﹣2）＜f（0），‎ ‎∴32x﹣（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．∴1+k＜3x+，∵3x＞0，∴3x+≥.‎ ‎∴k＜．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查赋值法求函数值、利用函数单调性定义证明不等式、利用函数单调性解不等式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.‎