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- 2021-06-02 发布
2017-2018学年广西柳州二中高二（上）期中数学试卷（文科）
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={x||x﹣2|≤1}，B={x|x（x﹣2）≤0}，则A∪B=（ ）
A．[1，2] B．[0，3] C．{1，2} D．{0，1，2，3}
2．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
3．（5分）已知向量与的夹角为120°，||=3，||=4，则||=（ ）
A．5 B．7 C． D．
4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
5．（5分）下列命题中，真命题为（ ）
A．∃x0∈R，sinx0＞1
B．命题p：∀x∈R，2x＞x2，则￢p：∀x∈R，2x≤x2
C．已知a，b为实数，则ab＞1是a+b=0的充分条件
D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．
6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
8．（5分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞11
9．（5分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集为（ ）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：
①；④loga＞logb．则其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
12．（5分）函数f（x）在定义域R上满足f（x+）=f（x﹣），当0≤x＜1时f（x）=x，若函数f（x）的图象与g（x）=3x2的图象只有一个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．[，1]
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是 ．
14．（5分）已知向量=（1，﹣a），=（1，b﹣1）共线，其中a，b＞0则的最小值为 ．
15．（5分）若过椭圆=1内一点P（2，1）的弦AB被P点平分，则AB所在的直线方程为 ．
16．（5分）函数f（x）=+2cos2x的单调递增区间为 ．
三.解答题：共6大题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn，若S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a﹣c．
（ I）求B；
（ II）若，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，DF=2BE，BE∥
DF，FC=AF=2．
（Ⅰ）求证：EC∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面BDFE；
（Ⅲ）求点F到平面ACE的距离．
20．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点P到焦点F的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，1）斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，求△FAB的面积．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在C上．
（ I）求C的方程；
（ II）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
22．（12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏（阴影部分为破坏部分），其可见部分如图所示，据此解答如下问题：
（1）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；
（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．
2017-2018学年广西柳州二中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={x||x﹣2|≤1}，B={x|x（x﹣2）≤0}，则A∪B=（ ）
A．[1，2] B．[0，3] C．{1，2} D．{0，1，2，3}
【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3}，
B={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，
∴A∪B={x|0≤x≤3}=[0，3]．
故选：B．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
2．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．
【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y=±x，
由A可得渐近线方程为y=±2x，
由B可得渐近线方程为y=±x，
由C可得渐近线方程为y=x，
由D可得渐近线方程为y=x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
3．（5分）已知向量与的夹角为120°，||=3，||=4，则||=（ ）
A．5 B．7 C． D．
【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得•=﹣6，进而可得||2=2+2•+2=13，变形即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量与的夹角为120°，||=3，||=4，则•=3×4×cos120°=﹣6，
则||2=2+2•+2=9﹣12+16=13，
则||=，
故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．
4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积S=×1×1=，
高为1，
故棱锥的体积V==，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
5．（5分）下列命题中，真命题为（ ）
A．∃x0∈R，sinx0＞1
B．命题p：∀x∈R，2x＞x2，则￢p：∀x∈R，2x≤x2
C．已知a，b为实数，则ab＞1是a+b=0的充分条件
D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．
【分析】A，根据∀x∈R，sinx≤1是真命题，判断它的否定是假命题；
B，根据命题p与它的否定￢p的关系，即可判断真假性；
C，根据ab＞1时，a+b=0不成立，判断不是充分条件；
D，分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：对于A，由命题p：∀x∈R，sinx≤1是真命题，
∴￢P：∃x0∈R，sinx0＞1是假命题；
对于B，命题p：∀x∈R，2x＞x2，
则￢p：∃x0∈R，≤，B是假命题；
对于C，a，b为实数，ab＞1时，a+b=0不成立，
不是充分条件，C是假命题；
对于D，a，b为实数，a＞1，b＞1时，则ab＞1，充分性成立；
ab＞1时，不能得出a＞1，b＞1，如a=﹣2，b=﹣2时，必要性不成立；
是充分不必要条件，D是真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是综合题．
6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
7．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，
∴，
∴q4+q2+1=7，
∴q4+q2﹣6=0，
∴q2=2，
∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．
故选：B
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
8．（5分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞11
【分析】写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的S在第十次循环中结果中，此时的i满足判断框中的条件，得到判断框中的条件．
【解答】解：经过第一次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件
经过第二次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件
经过第三次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件
…
经过第十次循环得到
，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出
故判断框中的条件是i＞10
故选C
【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律．
9．（5分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集为（ ）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
【分析】根据函数为偶函数，可将原不等式变形为xf（x）＞0，然后分两种情况讨论：当x＞0时有f（x）＞0，根据函数在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，得到0＜x＜2；当x＜0时有f（x）＜0，结合函数为偶函数的性质与（0，+∞）上的单调性，得x＜﹣2．
【解答】解：∵f（x）是偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
不等式，即
也就是xf（x）＞0
①当x＞0时，有f（x）＞0
∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0
∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；
②当x＜0时，有f（x）＜0
∵﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）＜f（2），
∴﹣x＞2⇒x＜﹣2
综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
故选B
【点评】本题以函数的单调性和奇偶性为载体，考查了抽象不等式的解法，属于基础题．
10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：
①；④loga＞logb．则其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：由0＜a＜b＜1，知：
在①中，（）a＞（）b＞（）b，故①正确；
在②中，当a=，b=时，=，=，此时＜，故②错误；
在③中，＞loga＞b，故③正确；
在④中，当a=，b=时，loga=＜logb=1．故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：=，
解得：，可得e2=4，即e=2．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．
12．（5分）函数f（x）在定义域R上满足f（x+）=f（x﹣），当0≤x＜1时f（x）=x，若函数f（x）的图象与g（x）=3x2的图象只有一个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．[，1]
【分析】求出函数的周期，画出函数的图象，利用数形结合求解即可．
【解答】解：函数f（x）在定义域R上满足f（x+）=f（x﹣），可得函数的周期为1；
当0≤x＜1时f（x）=x，函数f（x）的图象如图线段与g（x）=3x2的图象如图红色曲线：
函数f（x）的图象与g（x）=3x2的图象只有一个交点，
可知k＜1，
由，可得3x2﹣x+=0，所以△=1﹣12＜0，解得k，
则实数k的取值范围是：（）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的应用，考查数形结合以及计算能力．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是 ﹣1 ．
【分析】画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，分别代入目标函数，比照后可得最优解．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：
∵z=2x+y
故当x=0，y=﹣1时，z=2x+y的最大值是﹣1
故答案为：﹣1
【点评】
本题考查的知识点是简单的线性规划，其中角点法是解答此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握．
14．（5分）已知向量=（1，﹣a），=（1，b﹣1）共线，其中a，b＞0则的最小值为 4+2 ．
【分析】由向量共线的坐标表示可得a+b=1，则=（a+b）（），展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：向量=（1，﹣a），=（1，b﹣1）共线，其中a，b＞0，
可得b﹣1=﹣a，
即为a+b=1，
则=（a+b）（）=4++≥4+2=4+2，
当且仅当b=a时，上式取得等号．
则的最小值为4+2，
故答案为：4+2．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
15．（5分）若过椭圆=1内一点P（2，1）的弦AB被P点平分，则AB所在的直线方程为 8x+9y﹣25=0 ．
【分析】设A和B点坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”即可求得直线AB的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线的方程．
【解答】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），
∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，
∵又A、B两点在椭圆上，则4x12+9y12=36，4x22+9y22=36，
两式相减得4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，则=﹣×=﹣，
∴kAB==﹣，
故所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即8x+9y﹣25=0，
故答案为：8x+9y﹣25=0．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．（5分）函数f（x）=+2cos2x的单调递增区间为 [，]k∈Z ．
【分析】利用三角函数的公式化简，结合三角函数的性质即可求解单调递增区间．
【解答】解：函数f（x）=+2cos2x=+2sinxcosx+cos2x+1
=sin2x+cos2x++1=2sin（2x+）
由≤2x+，
得：≤x≤
∴单调递增区间为[，]k∈Z．
故答案为：[，]k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
三.解答题：共6大题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn，若S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列及S5
=20列式求得首项和公差，则数列{an}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn=，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列，得
，即，
得，
∵d≠0，∴a1=2d，①
∵，得a1+2d=4，②
联立①②得：a1=2，d=1，
∴an=2+（n﹣1）×1=n+1；
（Ⅱ）∵bn==，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
=．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a﹣c．
（ I）求B；
（ II）若，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）直接由已知条件和正弦定理求出B的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和余弦定理进一步求出a的值，最后利用面积公式求出结果．
【解答】（I）由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC，
所以：2cosBsinC﹣sinC=0，
由于：0＜C＜π，
cosB=，
解得：B=．
（II）由（I）以及余弦定理可得7=a2+4﹣2a
∴a2﹣2a﹣3=0解得a=3或a=﹣1（舍去）．
．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和三角形面积公式的应用．
19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，DF=2BE，BE∥DF，FC=AF=2．
（Ⅰ）求证：EC∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面BDFE；
（Ⅲ）求点F到平面ACE的距离．
【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，FD∥BE，得平面BCF∥平面ADF，由此能证明EC∥平面ADF．
（Ⅱ）推导出DF⊥DC，DF⊥DA，从而DF⊥平面ABCD，进而DF⊥AC，再求出DB⊥AC，从而AC⊥平面BDFE，由此能证明平面ACE⊥平面BDFE．
解：（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，S△OFE=S四边形BDFE﹣S△OBE﹣S△ODF=，由，能求出F到平面ACE的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，FD∥BE，AD∩FD=D，BE∩BC=B，
∴平面BCF∥平面ADF，
∵EC⊂平面BEC，∴EC∥平面ADF．…（4分）
（Ⅱ）∵FC=2，DC=DF=2，∴FC2=DC2+DF2，
∴DF⊥DC，同理DF⊥DA，
∴DF⊥平面ABCD，∴DF⊥AC，
又∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，BD∩DF=D，
∴AC⊥平面BDFE，
∵AC⊂平面AEC，
∴平面ACE⊥平面BDFE．…（8分）
解：（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，
由（Ⅱ）可知，四边形BDFE是直角梯形，
S△OFE=S四边形BDFE﹣S△OBE﹣S△ODF
==，
又∵AO⊥平面BDEF，∴=，
又在△OBE中，OE==，，
∴VF﹣OEA==，，
∴h=，即F到平面ACE的距离为．…（12分）
【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
20．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点P到焦点F的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，1）斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，求△FAB的面积．
【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，求得p的值，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，根据三角形的面积公式，即可求得△FAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知及抛物线定义得…（2分）
∴p=6，…（3分）
∴抛物线的标准方程为y2=12x；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（3，0）…（5分）
过点（1，1）斜率为2的直线方程为y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1，…（6分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由，消y整理得4x2﹣16x+1=0…（7分）
由韦达定理得x1+x2=4，x1x2=…（8分）
∴|AB|===5，…（10分）
又点F（3，0）到直线AB：2x﹣y﹣1=0的距离为，…（11分）
S△FAB=|AB|×d=×5×=，
∴△FAB的面积．…（12分）
【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在C上．
（ I）求C的方程；
（ II）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解得a2=8，b2=4，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得M坐标，得到直线OM的斜率，进一步可得直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=8，b2=4，
∴椭圆C的方程为；
证明：（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把y=kx+b代入，得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0．
故，
于是直线OM的斜率，即，
∴直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．
22．（12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏（阴影部分为破坏部分），其可见部分如图所示，据此解答如下问题：
（1）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；
（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．
【分析】（1）先求出样本容量，再求[80，90）间的频数与频率，计算对应矩形的高；
（2）求出分数在[80，100]之间的试卷数，用列举法求出基本事件数，计算概率即可；
（3）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可．
【解答】解：（1）根据题意，频率分布直方图中[50，60）间的频率是0.008×10=0.08，
频数是2，
样本容量是=25；
∵[80，90）间的频数是25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，
∴频率是=0.16，
∴矩形的高=0.016；
（2）分数在[80，100]之间的试卷数是4+2=6，分别记为a、b、c、d、A、B；
从这6份中任取2份，ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB共15种，
其中至少有一份的分数在[90，100]之间的基本事件数是aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB共9种
∴它的概率为P==；
（3）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是=55×0.008×10+65×+75×+85×+95×
=73.8，
由此估计平均分是73.8．
【点评】本题考查了样本容量与频数、频率的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，利用频率分布直方图求平均数的问题，是综合题．