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- 2021-06-02 发布
延边二中2018届高三第一次阶段考试
数学（理）试卷
一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项正确）
1．已知，则（ ）
A. B. C. D.
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
4.下列四个说法：
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题“”是一个假命题；
③命题p：存在都有
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ①③
5．已知命题“已知为定义在上的偶函数，则的图像关于直线对称”，命题“若，则方程有实数解”，则（ ）
A．“且”为真 B．“或”为假 C．假真 D．真假
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有( )
A． B．
C． D．
8．已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
9．已知过，则以下函数图像正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若a>l，设函数f（x）=ax+x－4的零点为m，函数g（x）= logax+x－4的零点为n，则的最小值为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
11．已知函数，若方程有四个不同的解，
且，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
12.已知函数，若不等式< 0对任意均成立，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）
13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点 处的切线方程是_______________.
14.设函数是定义在上的奇函数，且对任意的,当时，，则= .
15. 定积分__________．
16．已知是定义在上的偶函数，且当时，，若满足：
①时，，②是定义在上的周期函数，
③存在使得，则的值为________
三、解答题（包括6个题，17-21题12分，选做题10分,请写出必要的解答过程）
17.（本小题满分12分）在ABC中，.
（1）求的大小； （2）求的最大值.
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（1）求an及Sn； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（本小题满分12分）
近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为，求的分布列、数学期望.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：,其中）.
20．（本小题满分12分）
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
（1）写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21．(本题满分12分)
已知函数，其中，为自然对数的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，讨论在上的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时，；
（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.
请考生在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．
（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值为.
（1）求的值； （2）若，，求的最大值.
第一次阶段考试答案（理科）数学[
一． 选择题
CDACA BDABA DA
二、 填空题
13.2x+y+1=0 14.-2 15. 16.
三、解答题
17.试题分析：（1）根据余弦定理公式求出的值，进而根据的取值范围求的大小；
（2）由辅助角公式对进行化简变形，进而根据的取值范围求其最大值.
试题解析：（1）由余弦定理及题设得，
又∵，∴；（2）由（1）知，
，因为，所以当时，取得最大值.
18．（1）an＝2n＋1，Sn＝n（n＋2）；（2）．
【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．
由于an＝a1＋（n－1）d，Sn＝，所以an＝2n＋1，Sn＝n（n＋2）．
（2）因为an＝2n＋1，所以－1＝4n（n＋1），因此bn＝＝．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
．
所以数列{bn}的前n项和．
考点：数列求和，等差数列的通项公式.
19． (1)∵，即，∴，又，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.
(2)现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数，
∴，，
，，
所以的分布列为
0
1
2
3
则.
20．时，
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
综上所述，当x=100时，L(X)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大。
21.（Ⅰ）由，有.
所以.
当时，，所以在上单调递增.
当时，，所以在上单调递减.
当时，令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. …………………4分
（Ⅱ）， 令得 在上递增，上递减 所以
所以当时， …………………7分
（Ⅲ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.
由（I）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因此，，必有，.
由，有，有，
.解得.
又由第（2）问当，
由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，，故在内有零点.
综上可知，的取值范围是 . …………………12分
22．解（Ⅰ） 由题意知，直线的直角坐标方程为：，………………2分
∵曲线的直角坐标方程为：，
∴曲线的参数方程为：．………………5分
（Ⅱ） 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：
，………………7分
∴当sin（600－θ）=-1时，点P（），此时．…………10分
23. (本小题满分10分)
【试题解析】 (1) 由于，
所以. （5分）
(2)由已知，有，
因为（当取等号），（当取等号），
所以，即，
故 （10分）