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- 2021-06-02 发布
- 1 -
2019 学年第二学期期末调研考试
高二数学（文科）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
2.在集合 上定义两种运算 和 如下：
那么 （ ）
A． B． C． D．
3.下列命题中的假命题是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4.设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一
组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下
列结论中不正确的是（ ）
A． 与 具有正的线性相关关系
i
( )
( )
3
2
1
1
i
i
+ =
−
1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− −
{ }, , ,a b c d ⊕ ⊗
( )d a c⊗ ⊕ =
a b c d
x R∀ ∈ 12 0x− > x N ∗∀ ∈ ( )21 0x − >
x R∃ ∈ lg 1x < x R∃ ∈ tan 2x =
y kg x cm
( )( ), 1,2, ,i ix y i n= 0.85 85.71y x= −
y x
- 2 -
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加
D．若该大学某女生身高为 ，则可断定其体重必为
5.双曲线虚轴的一个端点为 ，焦点为 、 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
6.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 户家庭，得到如下统
计数据表：
收入 （万
元）
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 （万
元）
6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ， ，据此估计，该社区一户
年收入为 万元家庭的年支出为
（ ）
A． 万元 B． 万元 C. 万元 D． 万元
8.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，过 且垂直于 轴的直线与 交于 ，
且 ，则 的方程为（ ）
A． B． C. D．
9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说：
“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，
四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
( ),x y
1cm 0.85kg
170cm 58.79kg
M 1F 2F 1 2 120F MF∠ =
3 6
2
6
3
3
3
x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − >
5
x
y
y bx a= + 0.76b = a y bx= −
15
11.4 11.8 12.0 12.2
( )1 1,0F − ( )2 1,0F C 2F x C A
B 3AB = C
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
- 3 -
A．甲 B．乙 C.丙 D．丁
10.曲线 在点 处切线的斜率等于（ ）
A． B． C. D．
11.设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则
（ ）
A． B． C. D．
12.设直线 与函数 ， 的图像分别交于点 ， ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.平面上有 条直线，其中，任意两条直线不平行，任意三条直线不共点，
那么这些直线的交点个数为 ．
14.曲线 在点 处的切线方程是 ．
15.已知点 是抛物线 上的一个动点，则 到点 的距离与 到该抛物线准线的
距离之和的最小值为 ．
16.设 ，如果关于 的方程 ， ，
至少有一个有实数根，那么 的取值范围
是 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设函数 在 及 时取得极值.
（Ⅰ）求 、 的值；
（Ⅱ）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围.
1 2 1xy xe x−= + − ( )1,2
3 4 2 1e + 5
2
F 2: 3C y x= F 30 C A B
AB =
30
3 6 12 7 3
x t= ( ) 2f x x= ( ) lng x x= M N MN
2
2 4 2ln 2− 1 ln 24
+ 1 1 ln 22 2
+
( )1,n n n N +> ∈
21ln
2
y x x
x
= + −
−
( )1,0M
P 2 2y x= P ( )0,2 P
m R∈ x ( )2 2 2 3 0x m x m+ − + − = 2 4 5 0x x m+ + − =
( )2 24 2 4 5 1 0x m x m m− + + + + = m
( ) 3 22 3 3 8f x x ax bx c= + + + 1x = 2x =
a b
[ ]0,3x∈ ( ) 2f x c< c
- 4 -
18. 微信红包是一款年轻人非常喜欢的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各 种型号
的手机在相同环境下抢到红包的个数进行统计，得到如下数据：
品牌 型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
甲品牌（个） 4 3 8 6 12
乙品牌（个） 5 7 9 4 3
红包个数
手机品牌
优良 一般 合计
甲品牌（个）
乙品牌（个）
合计
（Ⅰ）如果抢到红包个数超过 个的手机型号为“优良”，否则为“一般”，请完成上述表格，
并据此判断是否有 的把握认为抢到红包的个数与手机品牌有关？
（Ⅱ）不考虑其它因素，现要从甲、乙两品牌的 种型号中各选出 种型号的手机进行促销活
动，求恰有一种型号是“优良”，另一种型号是“一般”的概率；
参考公式：随机变量 的观察值计算公式： ，
其中 .临界值表：
0.10 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19. 为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法.为此，
相关部分在该市随机调查了 户居民六月份的用电量（单位： ）和家庭收入（单位：
万元），以了解这个城市家庭用电量的情况.
用电量数据如下：
.
对应的家庭收入数据如下：
5
5
90%
5 1
2K
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
20 .kW h
18,63,72,82,93,98,106,110,118,130,134,139,147,163,180,194,212,237,260,324
0.21,0.24,0.35,0.40,0.52,0.60,0.58,0.65,0.65,0.63,0.68,0.80,0.83,0.93,0.97,
- 5 -
.
（Ⅰ）根据国家发改委的指示精神，该市计划实施 阶阶梯电价，使 的用户在第一档，
电价为 元/ ； 的用户在第二档，电价为 元/ ； 的用户在第三档
，电价为 元/ ，试求出居民用电费用 与用电量 间的函数关系；
（Ⅱ）以家庭收入 为横坐标，电量 为纵坐标作出散点图（如图），求 关于 的回归直线
方程（回归直线方程的系数四舍五入保留整数）.
（Ⅲ）小明家的月收入 元，按上述关系，估计小明家月支出电费多少元？
参考数据： ， ， ， ，
.
参考公式：一组相关数据 ， ，…， 的回归直线方程 的斜率
和截距的最小二乘法估计分别为 ， ，其中 ， 为样本均值.
20. 已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， .
21. 已知椭圆 的焦距为 ，且过点 .
0.96,1.1,1.2,1.5,1.8
3 75%
0.56 .kW h 20% 0.61 .kW h 5%
0.86 .kW h Q x
t x x t
7000
20
1
2880i
i
x
=
=∑ 20
1
15.6i
i
t
=
=∑ 20
1
2803.2i i
i
x t
=
⋅ =∑ 20
2
1
15.25i
i
t
=
=∑
20
2
1
517794i
i
x
=
=∑
( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y y bx a= +
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
− ⋅
=
−
∑
∑
a y bx= − x y
( ) ( ) 21 ln 1f x a x ax= + + +
2a = ( )y f x= ( )( )1, 1f
2a ≤ − ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 24f x f x x x− ≥ −
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 4 ( )2, 3P
- 6 -
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆 上一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 .取点
，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 .点 是点 关于 轴的对称点，
作直线 ，问这样作出的直线 是否与椭圆 一定有唯一的公共点？并说明理由.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.在极坐标系（与
平面直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴）中，
直线 的方程为 .
（Ⅰ）求圆 的普通方程及直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设平面直角坐标系 中的点 ，经过点 倾斜角为 的直线 与 相交于 ，
两点，求 的取值范围.
23.选修 4-5：不等式选讲
已知 ， ， ，函数 .
（Ⅰ）如果 ， ， ，求不等式 的解集；
（Ⅱ）如果 的最小值为 ，求 的最小值.
C
( )( )0 0 0 0, 0Q x y x y ≠ C Q x E
( )0,2 2A AE A AE x D G D y
QG QG C
xOy C 1 3cos ,
2 3sin
x t
y t
= +
= − + t
xOy O x
l ( )2 sin 4 m m R
πρ θ − = ∈
C l
xOy ( )2,2P − P α L C A
B PA PB+
0a > 0b > 0c > ( )f x x a x b c= + + − +
2a = 1b = 1c = ( ) 8f x ≥
( )f x 4 2 2 2a b c+ +
- 7 -
试卷答案
一、选择题
1-5:DABDB 6-10:ABCCA 11、12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16. 或
三、解答题
17.解：（Ⅰ） ．
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
所以， ，即 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．
则当 时， 的最大值为 ．
因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 ，
解得 或 ，因此 的取值范围为 ．
18.（本小题满分 12 分）
解：（I）
．
( 1)n n −
2 2 1 0x y+ − = 17
2
0m ≤ 1m ≥
2( ) 6 6 3f x x ax b′ = + +
( )f x 1x = 2x = (1) 0f ′ = (2) 0f ′ =
1 2, 1 22
ba− = + = × 3a = − 4b =
3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c= − + + 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x′ = − + = − −
(01)x∈ ， ( ) 0f x′ > (1 2)x∈ ， ( ) 0f x′ < (2 3)x∈ ， ( ) 0f x′ >
1x = ( )f x (1) 5 8f c= + (0) 8f c= (3) 9 8f c= +
[ ]0 3x∈ ， ( )f x (3) 9 8f c= +
[ ]0 3x∈ ， 2( )f x c< 29 8c c+ <
1c < − 9c > c ( 1) (9 )−∞ − + ∞， ，
红包个数
手机品牌
优 良 一 般 合 计
甲品牌（个） 3 2 5
乙品牌（个） 2 3 5
合 计 5 5 10
2
2 10 (3 3 2 2) 0.4 2.7065 5 5 5K
× × − ×= = <× × ×
- 8 -
所以，没有 90%的把握认为抢到红包的个数与手机品牌有关．
（Ⅱ）记“所选的两种型号中，一种型号是“优良”，另一种型号是“一般””为事件 A．
由（Ⅰ）中的表格数据可得，
“两种型号中，各选一种”共有 5×5=25 种方法，
甲型号“优良”，乙型号“一般”共有 3×3=9 种方法，
甲型号“一般”，乙型号“优良”共有 2×2=4 种方法．
所以， ．
19.解：（I）因为 ，
所以从用电量数据中得到第一档的临界值为第 15 个样本，即 180，
第二档的临界值为第 19 个样本，即 260．因此，
所以，
（II）由于 ，
，
，
所以 ，
从而回归直线方程为 ．
（Ⅲ）当 时， ，
，所以，小明家月支出电费 72.8 元．
温馨提示：由于学生手工计算，难免会产生这样或那样的计算误差，望评卷老师酌情扣分。
建议第（Ⅰ）问 0 误差，第（Ⅱ）问误差控制在±3，第（Ⅲ）问 0 误差．
9 4 13( ) 25 25P A
+= =
20 75% 15,20 95% 19× = × =
0.56 ,0 180,
( ) 0.56 180 0.61( 180),180 260
0.56 180 0.61(260 180) 0.86( 260), 260
x x
Q x x x
x x
≤ ≤
= × + − < ≤
× + − + − >
0.56 , 0 180
( ) 0.61 9, 180 260
0.86 74, 260.
x x
Q x x x
x x
≤ ≤
= − < ≤
− >
，
，
20
1
1 2880 14420 20i
i
x x
=
= = =∑
20
1
1 15.45 0.7820 20i
i
t t
=
= = =∑
1
222
1
2803.2 20 144 0.78ˆ 180.6615.25 20 .78
n
i i
i
n
i
i
x t nxt
b
t nt
=
=
− − × ×= = =− ×−
∑
∑
ˆˆ 144 180.66 0.78 3.085a x bt= − = − × =
ˆ 181 3x t= +
0.7t = 181 0.7 3 129.7 130x = × + = ≈
( ) 130 0.56 72.8Q x = × =
- 9 -
20.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）当 时， ， ．
∴ ，
∴曲线 在 处的切线方程为 ．
（Ⅱ）∵ ， f（x）的定义域为（0，+ ）， ，
∴f（x）在（0，+ ）上单调递减．
不妨假设 x1≥x2，那么 等价于 ≥4x1－4x2，
即 f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1．
令 g（x）=f（x）+4x，则 +4＝ ．
∵ ， ，∴ ≤ ＝ ≤0．
从而 g（x）在（0，+ ）单调减少，故 g（x1）≤g（x2），即 f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2，
故对任意 x1，x2∈（0，+ ） ， ．
21.解：（I）由已知 ．
∵椭圆过点 ， 且 ．
， ，所以椭圆 C 的方程是 ．
（Ⅱ）由题意可得 ，所以直线 AE 的斜率为 ，
∴直线 AD 的斜率为 ，方程为 ．
令 得 ，因此 ．
( )y f x= ( )1, (1)f
2a = 2( ) 3ln 2 1f x x x= + + 3( ) 4f x xx
′ = +
(1) 3, (1) 7f f ′= =
7 4y x= −
2a ≤ − ∞ 21 2 1( ) 2 0a ax af x axx x
+ + +′ = + = <
∞
1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ − 2 1( ) ( )f x f x−
1( ) 2ag x axx
+′ = + 22 4 1ax x a
x
+ + +
2a ≤ − 0x > ( )g x′ 24 4 1x x
x
− + − 2(2 1)x
x
− −
∞
∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ −
2c =
( 2 3)P ， ∴
2 2
2 3 1a b
+ = 2 2 2a b c= +
∴ 2 8a = 2 4b =
2 2
18 4
x y+ =
0( ,0)E x
0
2 2
AEk x
= −
0
2 2AD
xk = 0 2 2
2 2
xy x= +
0y =
0
8( ,0)D x
−
0
8( ,0)G x
- 10 -
∴ 的直线方程为 ，即 ．
又∵ ，∴ ，
∴直线 QG 的方程化为 ．
将 QG 的方程代入 得 ，
即 ．
因为 ，
所以直线 与椭圆只有一个公共点．
22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标与参数方程
解：（Ⅰ）消去参数 t 得圆 C 的普通方程为 ．
由 ，得 ，即
∴直线 的直角坐标方程 ．
（Ⅱ）设直线 L 的方程为 （ 为参数），
代入圆 C 的方程得 ．
由 t 的几何意义可知， ，
．
∵ ，∴ ．
∴ ．
因此， 的取值范围为 ．
23.解：（Ⅰ）当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，无解；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ．
QG 0
0
0
0
8
0
8
x xy
y x x
−− =
−
2
0 0 0 0( 8) 8 0x y x x y y− − − =
2 2
0 0 18 4
x y+ = 2 2
0 08 2x y− = −
0 02 8 0x x y y+ − =
2 2
18 4
x y+ = 2 2 2 2
0 0 0 0( 2 ) 16 64 16 0x y x x x y+ − + − =
2 2
0 02 8 2 0x x x y− + − =
2 2 2 2
0 0 0 04 4 (8 2 ) 4( 2 8) 0x y x y= − × − = + − =
QG
2 2( 1) ( 2) 9x y− + + =
2 sin( )4 m
πρ θ − = (sin cos ) mρ θ θ− = y x m− =
l 0x y m− + =
2 cos ,
2 sin
x t
y t
α
α
= − +
= + t
2 (8sin 6cos ) 16 0t tα α+ − + =
1 2| | | | 16PA PB t t⋅ = ⋅ =
1 2| | | | ( ) 8sin 6cosPA PB t t α α+ = − + = −
| | 5PC = 1| | | | [5 3,5 3] [2,8]PA t= ∈ − + =
1
1
16| | | | | | [8,10]| |PA PB t t
+ = + ∈
| | | |PA PB+ (8,10]
2x ≤ − 2 8x− ≥ 4x ≤ −
2 1x− < < 3 7≥
1x ≥ 2 6x ≥ 3x ≥
- 11 -
综上，原不等式的解集为 或 ．
（Ⅱ）由 ，
（ 时取等号），所以， ．
因为 ，
所以， 的最小值为 （ 时取等号）．
{ | 4x x ≤ − 3}x ≥
( ) | | | | |( ) ( ) | | |f x x a x b c x a x b c a b c a b c= + + − + ≥ + − − + = + + = + +
[ , ]x a b∈ − 4a b c+ + =
2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 3( )a b c a b c ab bc ca a b c+ + = + + + + + ≤ + +
2 2 2a b c+ +
16
3
4
3a b c= = =