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- 2021-06-02 发布
济宁市任城一中 2010-2011 学年高二下学期期末考试数学（理）
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．n∈N*，则（20-n）(21-n)……(100-n)等于 （ ）
A． 80
100 nA B． n
nA
20
100 C． 81
100 nA D． 81
20 nA
2．A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边，（A，B 可以不相邻）那么
不同的排法有（ ）
A．24 种 B．60 种 C．90 种 D．120 种
3．从 0，1，2，…，9 这 10 个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，
能够确定不在 x 轴上的点的个数是（ ）
A．100 B．90 C．81 D．72
4．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共（ ）
A．24 种 B．18 种 C．12 种 D．6 种
5．从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任（每班 1 位班主任），
要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）
A．210 种 B．420 种 C．630 种 D．840 种
6．设随机变量 X 的分布列为 ( ) 15
kP X k ， 1 2 3 4 5k ，，，，，则 1 5
2 2P X
等于（ ）
A． 1
5 B． 2
5 C． 1
15 D． 2
15
7．要从 10 名女生与 5 名男生中选出 6 名学生组成课外活动小组，如果按性别依比例分层随
机抽样，试问组成此课外学习小组的概率为（ ）
Ａ．
3 3
10 5
6
15
C C
C
Ｂ．
6
15
6
15
C
A C．
4 2
10 5
6
15
A A
C D．
4 2
10 5
6
15
C C
C
8．设 3 13
n
x x
的展开式的各项系数的和为 P，所有二项式系数的和为 S，若 P+S=272，则 n
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．若随机变量η的分布列如下：
0 1 2 3
0
.1
0
.2
0
.2
0
.3
0
.1
0
.1
则当 ( ) 0.8P x 时，实数 x 的取值范围是（ ）
Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2
10．设 5
5
2
210
5)2( xaxaxaax ，那么 0 2 4
1 3 5
a a a
a a a
的值为（ ）
A：－ 61
60 B： －122
121 C：－ 244
241 D：-1
11.倾斜角为
4
的直线过抛物线 xy 42 的焦点且与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|=（ ）
A. 13 B. 8 2 C. 16 D. 8
12. 椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3，则椭圆的标
准方程是 （ ）
A
h
oB C
l
r
A．
16
2x ＋
9
2y =1 或
9
2x ＋
16
2y =1 B．
25
2x ＋
9
2y =1 或
25
2y ＋
9
2x =1
C．
25
2x ＋
16
2y ＝1 或
25
2y ＋
16
2x =1 D．椭圆的方程无法确定
第Ⅱ卷 非选择题 共 90 分
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卷上）
13．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个_________
14、已知点 P(x, y)是圆(x－3)2+(y－ 3)2=6 上的动点，则
x
y 的最大值为 ；
15. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c；
②若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线，则 a、c 也是异面直线；
③若 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交；
④若 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面；
⑤若 a∥b， b∥c，则 a∥c；
其中正确的命题的序号是 .
16. 双曲线
2
2 1 0x y aa
的离心率为 3 ，则 a 的值是 __________ ；
17. 一飞行的蜻蜓被长为 cm12 细绳绑在某一房间一角（仍可飞行），则此蜻蜓可活动的三维空
间大小为_________ 3cm 。
三、计算证明题（本大题共 5 小题，共 65 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）
18. （本小题满分 12 分） 一个圆锥高 h 为 33 ，侧面展开图是个半圆，求：
（1）其母线 l 与底面半径 r 之比；
（2）锥角 BAC ；
（3）圆锥的表面积
19．（本小题满分 12 分）已知：以点 2, , 0C t t R tt
为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，
与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为原点。
(Ⅰ) 求证：⊿OAB 的面积为定值；
(Ⅱ) 设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M，N，若 OM=ON,求圆 C 的方程。
20. （本小题满分 13 分）已知正方体 ABCD－A1B1C1D1， O 是底 ABCD 对角线的交点.
求证：（1） OC1 //面 A1B1D1；
（2）A1C⊥面 AB1D1；
（3）求 所成角的正切值与平面直线 11DABAC 。
21. （本小题满分 14 分） 已知在平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦
点为 F（- 3 ，0），右顶点为 D（2，0），设点 A（1，1
2
）。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程；
（3）过原点 O 的直线交椭圆于点 B、C，求△ABC 面积的最大值。
22. （本小题满分 14 分）.如图，ABCD 是梯形，AB//CD， 90BAD ，PA⊥面 ABCD，
且 AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E 为 PD 的中点
（Ⅰ）求证：AE//面 PBC.
（Ⅱ）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；
（Ⅲ）在面 PAB 内能否找一点 N，使 NE⊥面 PAC. 若
存在，找出并证明；若不存在，
请说明理由。
__
E
P
A B
CD
D1
O
D
BA
C1
B1A1
C
A
h
oB C
l
r
答案：
一、 选择题 1----5 CBCBB 6----10 ADACB 11-12DC
二、填空题：（25 分）
13． 四棱台 14、 2 3 15. ⑤
16. 1
2 17. 288π 3cm
三、解答题（65 分）
18. （本小题满分 12 分）
本题的关键是要搞清楚圆锥的底面半径与母线之间的关系。（如图）
（1）圆锥的侧面展开图恰为一个半圆
2 r＝ l 2
r
l
（2） 2
r
l AB＝2OB 30BAO
60BAC 即锥角为 60
（3）Rt AOB 中， 2l ＝h 2 ＋r 2
又 33,2 hrl
63 lr ， 底面侧面表面 SSS ＝ 2rrl ＝3 （6＋3）＝27
19．（本小题满分 12 分）
解：(Ⅰ)因为圆 C 过原点 O， 2 2
2
4 .OC t t
设圆 C 的方程是
2
2 2
2
2 4 .x t y tt t
令 x=0,得 y1 =0， 2
4y t ；
令 y=0，得 x1=0,x2=2t .
1 1 4 2 4,2 2OABS OA OB tt 即⊿OAB 的面积为定值。 5
分；
(Ⅱ)方法一： , ,OM ON CM CN OC 垂直平分线段 MN。 12, .2MN OCk k 直
线 OC 的方程是 1 .2y x 2 1 .2 tt 解得 t=2 或 t=-2。
当 t=2 时，圆心 C 的坐标为（2,1）， 5,OC 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 1 5,
5
d
圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点。
当 t=-2 时，圆心 C 的坐标为（-2,-1）， 5,OC 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 9 5,
5
d 此
时圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交，所以 t=-2 不符合题意，舍去。所以，圆 C 的方程为
2 22 1 5.x y 12 分
方法二：可用解方程法，结果相同。过程从略。
20. （本小题满分 13 分）
证明：（1）连结 1 1AC ，设 1 1 1 1 1AC B D O
连结 1AO ， 1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体
1 1A ACC 是平行四边形 1 1AC AC 且 1 1AC AC 2 分
又 1,O O 分别是 1 1,AC AC 的中点， 1 1O C AO 且 1 1O C AO
1 1AOC O 是平行四边形
1 1 1,C O AO AO 面 1 1AB D ， 1C O 面 1 1AB D
1C O 面 1 1AB D 4 分
（2） 1CC 面 1 1 1 1A B C D 1 1 !CC B D
又 1 1 1 1AC B D ， 1 1 1 1B D AC C 面 6 分
D1
O
D
BA
C1
B1A1
C
1 1 1AC B D即
同理可证 1 1AC AB ，
又 1 1 1 1D B AB B
1AC 面 1 1AB D 9 分
（3）直线 AC 与平面 1 1AB D 所成的角实际上就是正四面体 ACB1D1 的一条棱与一个面所成的角，
余弦值为 3
3
，从而正切值为 2 。 13 分
21. （本小题满分 14 分）
解（1）a=2 C= 3
∴椭圆的标准方程为
2
2 14
x y ………………4 分
(2)设 M（x，y）P(xo，y0)则
0
0
1 , 2 12
xx x x 0
0
1
12 , 22 2
y
y y y
∵P 在椭圆上
2
20
0 14
x y
∴(2x-1)2
4 +（2y － 1
2
）2=1…………………………9 分
（3） 2 …………………………14 分
22.
解： （Ⅰ）取 PC 中点为 F，连结 EF，BF
又 E 为 PD 的中点，所以 DC//EF 且 DC2
1EF
所以 EF//AB，且 EF=AB，所以 ABFE 为平行四边形 …2 分
所以 AE//BF， 因为 AE 面 PBC， 所以 AE//面 PBC …4 分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，3），E（0，
2
1 ，
2
3 ） …5 分
从而 AC =（2，1，0）， PB =（1，0， 3 ）
设 AC 与 PB 的夹角为 ，则
10
2
25
1
|PB||AC|
PBACcos
， …7 分
∴AC 与 PB 所成角的余弦值为
10
2 …8 分
（Ⅲ）法 1：由于 N 点在面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x，0，z），
则 )z2
3,2
1,x(NE 由 NE⊥面 PAC 可得：
,0
,0
ACNE
APNE …10 分
即
,0)0,1,2()z2
3,2
1,x(
,0)3,0,0()z2
3,2
1,x(
化简得
.2
3z
,4
1x
.02
1x2
,02
3z
即 N 点的坐标为（
4
1 ，0，
2
3 ）
所以在面 PAB 内存在点 N（
4
1 ，0，
2
3 ），使 NE⊥面 PAC. …14 分
（Ⅲ）法 2：在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 G，连 PG，
设 N 为 PG 的中点，连 NE，则 NE//DG， …10 分
二、 ∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面 PAC 从而 NE⊥面 PAC