2017-2018学年湖南省五市十校高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版） 10页

‎2017-2018学年湖南省五市十校高二下学期期末考试数学（理）试题 考生注意： ‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.所有试题请在答题卡上作答，答题卷上作答无效，考试结束后只收答题卡.‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合，,则等于(C) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第3题图 ‎2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（A）‎ ‎ A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（A）‎ A．4 B．‎5 C． 6 D．7 ‎ ‎4．在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（ B ）‎ A． B．‎15 C．30 D． ‎ ‎5．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为(B)‎ A．[，] B．[，3]‎ C．[，] D．[，3]‎ ‎6．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ C ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为( B )‎ A．24 B．8 C. D． ‎8．设，则二项式展开式的常数项是（ A ） A. 1120 B. ‎140 ‎ C. -140 D. -1120‎ ‎9.函数的图像恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为（ D ）‎ A. 13 B‎.14 C.16 D. 12‎ ‎10．抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（ B ）‎ A. B. C. D. ‎11．已知圆 ，‎ A． 　　　　　　　　 B．‎ C． 　　　　　　　　 D． ‎ ‎12．已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为( B )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）‎ ‎13．3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种. 10080 ‎ ‎14.现在 ‎“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．‎ ‎15．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______. p＝-4‎ ‎16．已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________. ‎ 三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)等比数列的各项均为正数，且，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.‎ ‎17.(本题满分12分)设数列的公比为.由=得，所以.（2分）‎ ‎ 由条件可知，故.由得，所以.（4分）‎ ‎ 故数列的通项公式为（6分）‎ ‎(2)(7分)‎ ‎（8分）‎ ‎（10分）‎ ‎（12分）‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三F N M P D C B A 第18题图 角形,且,侧面⊥底面.‎ ‎(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；‎ ‎(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)略;( Ⅱ) ‎ ‎【解析】(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴∥,,·2分 又点为中点,∴∥且,∴四边形为平行四边形,∴∥, （3分）‎ 又平面,平面,∴∥平面. （5分）‎ ‎(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直.（6分）‎ O F Q N M Z P Y D C B A X 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,‎ 则:,. （7分）‎ 设平面ABF的法向量为,则,‎ ‎∴,令,则 ‎,∴. （9分）‎ 又平面的法向量为,由二面角成角得:‎ ‎,∴,解得:,或不合题意,舍去（11分）‎ ‎.∴,当棱上的点满足时, 二面角 成角. （12分）‎ ‎19. (本题满分12分)‎ 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年宣传费（万元）‎ ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 年销售量（吨）‎ ‎16.8‎ ‎18.8‎ ‎20.7‎ ‎22.4‎ ‎24.0‎ ‎25.5‎ 经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：‎ ‎75.3‎ ‎24.6‎ ‎18.3‎ ‎101.4‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。现从这6年中任选2年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中为自然对数的底数， ）‎ 附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ 解：（1）由令得，由数据可得：‎ ‎,,于是 ‎，（4分）‎ 得故所求回归方程为（6分）‎ ‎（2）条件，于是求出，（7分）‎ 即6年中有3年是“效益良好年”， ，（8分）由题得，‎ ‎（10分）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（11分）‎ 所以 的分布列如表所示，且 。 （12分）‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，一张坐标纸上已作出圆：及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与轨迹交于两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．‎ ‎20. 解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，‎ ‎∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|， ……2分 ‎∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，‎ ‎∴，∴M的轨迹C的方程为 ‎． ……………4分 ‎（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：‎ ‎，即，……5分 由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+‎2m2‎﹣2=0， ……………6分 ‎∵直线与椭圆交于两个不同点，‎ ‎∴△=16k‎2m2‎﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=， ……………7分 又，∴，∴，‎ 设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，‎ ‎∴△AOB的面积的取值范围是 …12分 ‎21．（本题满分12分）‎ 设,函数.‎ ‎(1) 若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)求函数单调区间 ‎(3) 若有两个零点,求证: .‎ 解：在区间上,. …………（1分）‎ （1） 当时，则切线方程为，即…（2分）‎ ‎（2）①若,则,是区间上的增函数, （3分）‎ ③若,令得: .（4分）‎ 在区间上, ,函数是增函数; （5分）‎ 在区间上, ,函数是减函数;（6分）‎ ‎ (3)设 ‎,‎ 原不等式（8分）‎ 令,则,于是.（9分）‎ 设函数,‎ 求导得: （11分）‎ 故函数是上的增函数, ‎ 即不等式成立,故所证不等式成立.（12分）‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．（2分）‎ 由曲线的极坐标方程得，，（4分）‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．（5分）‎ ‎（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．（7分）‎ ‎∵，∴，，‎ 当时，即；（9分）‎ 当时， ．∴或．（10分） ‎ ‎23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）当时，.‎ ‎ （2分）‎ 时，恒成立，∴； （3分）‎ ‎②当时，，即，即或.‎ 综合可知：； （4分）‎ ‎③当时，，则或，综合可知：.（5分）‎ 由①②③可知：或. （6分）‎ ‎（2），（7分）‎ ‎（8分）‎ ‎（10分）‎