数学理卷·2018届内蒙古集宁一中高三上学期第二次月考（2017 8页

集宁一中2017—2018学年第一学期第二次月考 高三年级数学 (理) 试题 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题目要求)‎ ‎1．已知集合，集合，则( )【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设复数满足，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．圆的圆心到直线2的距离为1，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．若是两个单位向量，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( 　)‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．等差数列的前项和为，已知，则的值为( )‎ A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. ‎ ‎8．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．变量满足条件，则的最小值为( )‎ A. B. C. 　 D. ‎ ‎10．已知，且，则的最小值为( )‎ A. 8 B. 5 C. 4 D. 6‎ ‎11．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是( )【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是 ．‎ ‎14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆 的标准方程为 ．‎ ‎15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离 为 　　　　　　　　　 ．‎ ‎16．定义在上的连续函数满足，且在上的导函数，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分) 在中，边，，分别是角，，的对边，且满足等式.‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若，且，求.‎ ‎18．(12分) 已知直线与椭圆有且只有一个公共点．‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（II）若直线交C于A，B两点，且OA⊥OB (O为原点)，求b的值．‎ ‎19．(12分) 已知数列满足 ，且．‎ ‎（I）证明数列是等差数列；‎ ‎（II）求数列的前项和．‎ ‎20．(12分) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB=AE=2．‎ ‎（I）求证：BD⊥平面ACFE；‎ ‎（II）当直线FO与平面BDE所成的角为45°时，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．‎ ‎21．(12分) 已知抛物线的焦点为F，直线与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．‎ ‎22．(12分) 已知函数 ‎（I）若，求函数的单调区间；‎ ‎（II）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数，求证:‎ 高三数学（理）答案 ‎【1-6】DCB AAD 【6-12】CBCACD ‎【13-16】 ‎ ‎【17】解：(Ⅰ)由，得， 则，因为，所以，因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由， 得，‎ 由余弦定理得 且，得 即，所以.‎ ‎【18】解：（I）由P在椭圆上，可得4m+n=1①，‎ 由直线与椭圆有且只有一个公共点，则 ‎，消去y可得，‎ 由题意可得，即为②，‎ 由①②，且，解得m= ，n= ，即有椭圆方程为；‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 消去y，可得，‎ 判别式， ‎ ‎ ‎ 由OA⊥OB，即为,则 解得b=2或-2，代入判别式符合要求，则 b=2或-2．‎ ‎【19】证明：（I）由,等式两端同时除以得到 ‎∴，即，‎ ‎（II）∵，∴数列是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎∴， ∴‎ ‎∴数列的前n项和：‎ ‎②﹣①，得：‎ 即.‎ ‎【20】（I）证明：在菱形ABCD中，可得DB⊥AC，‎ 又因为AE⊥平面ABCD，∴BD⊥AE，‎ 且AE∩AC=A，BD⊥平面ACFE；‎ ‎ （II）解：取EF的中点为M，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则， ，，，则，，设平面BDE的法向量，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由，可取 ①‎ 则，解得h=3，故 ‎，设平面BFE的法向量为，，设平面DFE的法向量为，‎ 同理①可得，则 ‎，则二面角B-EF-D的余弦值为．‎ ‎【21】解：（I）由题意可知，， ，‎ 由，则，解得：p=2， ∴抛物线x2=4y；‎ ‎（II）‎ 设l：y=kx+1，A，B，‎ 联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0， 则，‎ 由y=x2，求导y′=，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 直线MA：，同理求得MD：，‎ 则，解得：，则M（2k，﹣1），‎ ‎∴M到l的距离，‎ ‎∴△ABM与△CDM的面积之积 ‎，‎ 当且仅当k=0时取等号，当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1．‎ ‎【22】（I）f(x)在实数R上单调递增 ‎（II）‎ ‎（Ⅲ）略