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- 2021-06-02 发布
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知全集，集合，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
考点：集合的基本运算.
2．已知复数表示复数的共轭复数，则（ ）【来.源：全,品…中&高*考*网】
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【解析】
试题分析：，故选B．1
考点：1．共轭复数的概念；2．复数模长的计算．
3．已知是公比为2的等比数列，为数列的前项和，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
试题分析：因为是公比为的等比数列，若 所以，，故选D.
考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列前项和公式.
4．如果命题“”为假命题，则（ ）
A．p，q均为假命题
B．p，q均为真命题
C．p，q中至少一个为真命题
D．p，q中至多有一个为真命题
【答案】C
【解析】
试题分析：因为“”为假命题，所以为真命题，则中至少一个为真命题，故选择C．
考点：复合命题．
5．已知实数满足，则目标函数的最大值为（ ）
A. B. C. D．
【答案】C
【解析】
【方法点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并
明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
6．若新高考方案正式实施，甲，乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两
门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为甲，乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课共有种选法， 两门功课都不相同时，可以甲先选两门剩余两门乙选，共有种选法，所以他们选择的两门功课都不相同的概率为，故选A. 1
考点：1、组合数的应用；2、古典概型概率公式.
7．已知某空间几何体的正视图，侧视图，俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果该直角三
角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
8．已知，，且与夹角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据与夹角为，可知，所以，故选B．
考点：向量的数量积的定义式，向量数量积的运算法则．
9．已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，
，则函数在内所有的零点之和为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【来.源：全,品…中&高*考*网】
考点：1、函数零点与函数图象交点之间的关系；2、数形结合思想.
10．将函数的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
所得新图象的函数解析式是（ ）
A．y=sin4x B．y=sinx C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x﹣）
【答案】D
【解析】【来.源：全,品…中&高*考*网】
试题分析：将函数的图象向右平移个单位，可得，再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到．故选：D．1
考点：三角函数图象变换．
11．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧， （其
中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
考点：1、抛物线；2、三角形的面积；3、基本不等式.
12．已知函数若，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：，排除A、B、D，的集合为，故选C.
考点：1、分段函数的解析式；2、特殊值法解选择题.
【方法点睛】本题主要考查抛分段函数的解析式、特殊值法解选择题，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型：(1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）求方程、求通项、求前项和公式问题等等.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13．如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成
立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：
①函数y=sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；
③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，
则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，函数y=f（x）是周期函数．
其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
【答案】①③④
【解析】
考点：函数奇偶性单调性周期性．
14．在如图所示的算法中，输出的的值是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：
结束循环，输出．1
考点：循环语句．
【思路点睛】本题主要考查（当型）循环语句，通过对程序语言的读取，根据所给循环结构中判断输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，这是一个求几个数累乘的问题，解题时，可通过对条件的判断，逐步演算的结果，通过判断，可知该程序演算过程需运行次，运行次后，的值变为，此时程序不再进入循环体，继而输出.
15．在数列中，，为数列的前项和，则的最小
值为 .
【答案】
【解析】
考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、等差数列的前项和公式及最值.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、等差数列的前项和公式、前项和的最值，属于难题.求等差数列前项和的最小值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，，当时有最小值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最小）；②可根据且确定最小时的值.
16．若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m= ．
【答案】
【解析】
试题分析：∵，且，∴，解得
或（舍去）．故答案为.
考点：双曲线的简单性质．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题12分）已知函数的图象经过三点
，且在区间内有唯一的最值，且为最小值．
（1）求出函数的解析式；
（2）在中，分别是角的对边，若且，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
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∴．
（2）∵，∴．
∵，
∴由余弦定理得：，
则．1
考点：三角函数的图象和余弦定理等有关知识及运用．
18．（本题12分）已知函数（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数在定义域内存在零点，求的取值范围．
（3）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围
【答案】（1）当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）．
【解析】
试题解析：（1）由，则．
当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；
当时，由，得；由，得，
此时函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）函数的定义域为，
由，得（）
令（），则，
由于，，可知当，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，故．
又由（1）知当时，对，有，即，
（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大．）
∴当时，函数有零点；
考点：导数的综合运用．
【思路点睛】此题考查了导数的综合应用，属于压轴题型，第一问比较常规，求导后，讨论导数存在极值点和不存在极值点的情况，即讨论和两种情况，第二问处理定义域内的零点问题
，我们的方法主要是法一是分析函数本身，求导，分析函数的单调性，和极值以及最值，讨论函数与轴有交点的问题，法二是如本题的方法，首先反解（），通过构造函数（），并求其导数，并分析函数的单调性和最值和值域，就是的范围，而对于第三问，就是本题的难点了，可以先判断，并采用分析法证明，所证明成立，那么当时，那么就是单调递增函数，根据第一问所求函数的导数，并讨论值判断函数的单调性，从而得到的取值范围．
19．（本题12分）如图所示的多面体中，已知菱形和直角梯形所在的平面互相垂直，
其中为直角，，，.
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题解析：（1）证明：连接交于点，连接.
因为，且四边形为菱形，所以.
又，，为直角，所以四边形为矩形，则，由四边形为菱形得，又，所以平面，而平面，则，又，所以，因为，故，则，即，又，所以平面.1
（2）解：由（1）知，平面，所以.
考点：1、线面垂直的判定定理与性质；2、棱锥的体积公式.
20．（本题12分）已知点，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）如果圆上存在两点关于直线对称，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
考点：1．圆的标准方程；2．直线与圆相交．
21．（本题12分）已知．
（1）若存在使得≥0成立，求的范围；
（2）求证：当＞1时，在（1）的条件下，成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将已知条件转化为，所以重点是求函数的最小值，对所设求导，判断函数的单调性，判断最小值所在位置，所以；第二问，将所求证的表达式进行转化，变成，设函数，则需证明，由第一问可知且，所以利用不等式的性质可知，所以判断函数在为增函数，所以最小值为，即.
试题解析：（）
（2）即（）
令，则 7分
由（1）可知
则 10分
∴在上单调递增
∴成立
∴＞0成立 12分。
考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的最值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
解答时请写清题号.
22．（本题10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交于点.
（1）证明：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（2）解：∵是的角平分线，，∴，所以，由圆的割线定理得，，∴，，∴.
考点：1、相识三角形的应用；2、圆的割线定理.
23．（本题10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x
轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）设点P(m，0)，若直线L与曲线C交于两点A，B，且，求实数m的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
试题解析：（1）曲线C的极坐标方程是，化为，
可得直角坐标方程：．
直线L的参数方程是（t为参数），
消去参数t可得．
把（t为参数），代入方程：，
化为a，
由，解得-1