2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第1讲直线与圆教学案 14页

第1讲　直线与圆 ‎ [考情考向·高考导航]‎ 对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．‎ ‎[真题体验]‎ ‎1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．[2,6]　　　　　　　　 B．[4,8]‎ C．[，3] D．[2，3]‎ 解析：A　[由已知A(－2,0)，B(0，－2)．圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝2，又圆的半径为.∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为，最大值为3，又|AB|＝2.∴△ABP面积的最小值为Smin＝×2×＝2，最大值为Smax＝×2×3＝6.]‎ ‎2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)‎ A．1　　　　 B．2　　　　　 C．3　　　　　 D．4‎ 解析：C　[本题考查直线与圆的位置关系．‎ 点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的点，直线x－my－2＝0过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d可取到最大值，设圆心到直线的距离为d0，d0＝，d＝d0＋1＝＋1，可知，当m＝0时，dmax＝3，故选C.]‎ ‎3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．‎ - 14 -‎ 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：‎ 解得 则圆的方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 答案：x2＋y2－2x＝0‎ ‎4．(2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 解析：圆方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r＝2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2.‎ 答案：2 ‎[主干整合]‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．‎ ‎2．两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎3．圆的方程 ‎(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.‎ ‎(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.‎ ‎4．直线与圆的位置关系的判定 ‎(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．‎ ‎(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．‎ 热点一　直线的方程及其应用 ‎[例1]　(1)(2020·大连模拟)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ - 14 -‎ A．充要条件　　　　　　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析]　A　[由ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，∴a＝－1，a＝2.经检验当a＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的充要条件．]‎ ‎(2)(2020·厦门模拟)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________．‎ ‎[解析]　由得所以l1与l2的交点为(1,2)，当所求直线的斜率不存在时，所求直线为x＝1，显然不符合题意．‎ 故设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，‎ 即kx－y＋2－k＝0，‎ 因为P(0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝，所以k＝0或k＝.‎ 所以所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.‎ ‎[答案]　y＝2或4x－3y＋2＝0‎ ‎(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.‎ ‎①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________．‎ ‎②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．‎ ‎[解析]　设，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q1＝＝2y1.‎ 因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图(图略)比较知Q1最大．‎ - 14 -‎ 又p1＝＝＝＝，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，‎ 因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大．‎ ‎[答案]　①Q1　②p2‎ 求解直线方程应注意的问题 ‎(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．‎ ‎(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．‎ ‎(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．‎ ‎(2020·宁德模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为____________．‎ 解析：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别为，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图象与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有① ‎② 由①解得xA＝，由②解得xB＝.‎ 因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，‎ 即＋＝0，解得k＝－.‎ 故所求的直线方程为y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.‎ 答案：x＋4y－4＝0‎ 热点二　圆的方程及应用 ‎[例2]　(1)(山东高考题)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________．‎ - 14 -‎ ‎[解析]　设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎[答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ ‎(2)(2019·唐山三模)已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是____________．‎ ‎[解析]　依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋.‎ ‎[答案]　3＋ 求圆的方程的两种方法 ‎(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求出圆的基本量：圆心坐标和半径．如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直，设圆的半径为r，弦长为|AB|，弦心距为d，则r2＝d2＋2等．‎ ‎(2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷．‎ ‎(1)(2019·临沂三模)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2x－y－4＝0相切，则圆M的标准方程为________________．‎ 解析：由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，得 解得满足条件的一组解为 所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ 答案：(x＋1)2＋y2＝4‎ ‎(2)(2020·马鞍山模拟)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的标准方程为________________．‎ 解析：由条件设圆心坐标为(a＞0)，又因为圆与直线2x＋y - 14 -‎ ‎＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝r＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝5‎ 热点三　直线(圆)与圆的位置关系 直观 想象 素养 直观想象——圆的方程应用中的核心素养 以学过的圆的相关知识为基础，借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”，然后利用“直观想象”解决问题.‎ ‎[例3]　(1)(2020·湖北八校联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．‎ ‎[解析]　‎ 令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，‎ 所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，‎ 于是sin∠OPH＝＝＝，‎ 易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－.‎ ‎[答案]　－ ‎(2)如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.‎ ‎①当|MN|＝2时，则直线l的方程为____________．‎ - 14 -‎ ‎②若·为定值，则这个定值为________．‎ ‎[解析]　①设圆A的半径为R.‎ ‎∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，‎ ‎∴R＝＝2.‎ ‎∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.‎ a．当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；‎ b．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.‎ ‎∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.‎ 由|AQ|＝＝1，得k＝，‎ ‎∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.‎ ‎∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.‎ ‎②∵AQ⊥BP，∴·＝0.‎ ‎∵·＝(＋)· ‎＝·＋·＝·.‎ 当直线l与x轴垂直时，得P.‎ 则＝，又＝(1,2)，‎ ‎∴·＝·＝－5.‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．‎ 由解得P.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴·＝·＝－＝－5.‎ 综上所述：·为定值，其定值为－5.‎ ‎[答案]　①x＝－2或3x－4y＋6＝0　②－5‎ 直线(圆)与圆的位置关系的解题思路 - 14 -‎ ‎(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．‎ ‎(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题．‎ ‎(1)(2020·银川调研)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是____________．‎ 解析：由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径R＝a，因为圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝(a＞0)，解得a＝2，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r＝1，所以|MN|＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆的位置关系为相交．‎ 答案：相交 ‎(2)(2020·江西七校联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．‎ 解析：‎ 圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于等于2即可，‎ ‎∴≤2⇒0≤k≤.‎ ‎∴kmax＝.‎ 答案： 限时40分钟　满分80分 一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)‎ ‎1．(2020·成都二诊)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x - 14 -‎ ‎＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是(　　)‎ A．平行　　　　　　 　 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：C　[由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.]‎ ‎2．(2020·杭州质检)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 解析：D　[点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或－.]‎ ‎3．(2020·广州模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)‎ A. B．2 C．3 D．4 解析：C　[由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据两平行线间的距离公式得，＝，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.]‎ ‎4．(2020·河南六校联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|＋|＝|－|，则实数a的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．±1 D．±2‎ 解析：C　[由，满足|＋|＝|－|，得⊥，‎ 因为直线x＋y＝a的斜率是－1，‎ 所以A，B两点在坐标轴上并且在圆上；‎ - 14 -‎ 所以(0,1)和(0，－1)两点都适合直线的方程，故a＝±1.]‎ ‎5．(2020·怀柔调研)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)‎ A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ 解析：B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.]‎ ‎6．(2020·温州模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－，]上的任意一个实数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：D　[当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝＞，解得k＞1或k＜－1，又k∈[－，]，所以－≤k＜－1或1＜k≤，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P＝＝，故选D.]‎ ‎7．(2019·潍坊三模)已知O为坐标原点，A，B是圆C：x2＋y2－6y＋5＝0上两个动点，且|AB|＝2，则|＋|的取值范围是(　　)‎ A．[6－2，6＋2] B．[3－，3＋]‎ C．[3,9] D．[3,6]‎ 解析：A　[圆C：x2＋(y－3)2＝4，取弦AB的中点M，连接CM，CA，在直角三角形CMA中，|CA|＝2，|MA|＝1，则|CM|＝＝，则点M的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝3，则|＋|＝2||∈[6－2，6＋2]．]‎ ‎8．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．0