2019届二轮复习专题十九　数学归纳法及其应用课件（10张）（全国通用） 10页

考点    数学归纳法及其应用 考点清单 考向基础 1. 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法. 2.数学归纳法 (1)当 n 取第一个值 n 0 ( n 0 ∈N * )时,证明命题成立; (2)假设当 n = k ( k ∈N * , k ≥ n 0 )时命题成立,并证明当 n = k +1时,命题也成立. 于是对一切 n ∈N * , n ≥ n 0 命题都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. 运用数学归纳法证明命题要分为两步. 第一步是递推的基础,第二步是 递推的依据,这两步缺一不可 . 考向突破 考向一    用数学归纳法证明恒等式 例1 　用数学归纳法证明: 1 × 2 × 3+2 × 3 × 4+ … + n × ( n +1) × ( n +2)=   ( n ∈N * ). 证明 　(1)当 n =1时,左边=1 × 2 × 3=6,右边=   =6=左边,∴等式成立. (2)设当 n = k ( k ∈N * )时,等式成立, 即1 × 2 × 3+2 × 3 × 4+ … + k × ( k +1) × ( k +2)=   . 则当 n = k +1时, 左边=1 × 2 × 3+2 × 3 × 4+ … + k × ( k +1) × ( k +2)+( k +1)( k +2)·( k +3) =   +( k +1)( k +2)( k +3) =( k +1)( k +2)( k +3)   =   =   . ∴ n = k +1时,等式成立. 由(1)(2)可知,原等式对于任意 n ∈N * 成立. 解题关键     用数学归纳法证明等式的关键点在于弄清等式两边的构成 规律,等式两边各有多少项,初始值 n 0 是几. 考向二    用数学归纳法证明不等式 例2 　已知数列{ x n }中, x 1 =1, x n +1 =1+   ( n ∈N * ). 用数学归纳法证明 x n <   ( n ∈N * ). 解题导引     由 n = k 成立到 n = k +1成立的证明过程中,可以利用 x k 的取值范 围作为定义域,从而求出 x k +1 的取值范围. 证明 　(1)当 n =1时, x 1 =1<   ,命题成立. (2)假设当 n = k 时, x k <   , 则当 n = k +1时, x k +1 =1+   =2-   <2-   =   , 即 n = k +1时,命题成立. 根据(1)(2),可知 x n <   ( n ∈N * ). 考向三    用数学归纳法证明整除问题 例3 　是否存在正整数 m 使得 f ( n )=(2 n +7)·3 n +9对正整数 n 都能被 m 整除, 若存在,求出最大的 m 的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由. 解析 　由 f ( n )=(2 n +7)·3 n +9得 f (1)=36, f (2)=3 × 36, f (3)=10 × 36, f (4)=34 × 36, 由此猜想: m =36. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n =1时,显然成立. (2)假设 n = k ( k ∈N * 且 k ≥ 1)时, f ( k )能被36整除,即 f ( k )=(2 k +7)·3 k +9能被36 整除; 当 n = k +1时,[2( k +1)+7]·3 k +1 +9=(2 k +7)·3 k +1 +27-27+2·3 k +1 +9=3[(2 k +7)·3 k +9]+ 18(3 k -1 -1), 由于3 k -1 -1是2的倍数,故18(3 k -1 -1)能被36整除,这就是说,当 n = k +1时, f ( n ) 也能被36整除. 由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f ( n )=(2 n +7)·3 n +9能被36整除, m 的最大 值为36. 解题关键     应用数学归纳法证明整除性的关键是“配凑”要证的式子 (或是叫做“提公因式”). 方法    数学归纳法 (1)验证 n = n 0 时,命题成立; (2)假设 n = k 时,命题成立; (3)证明 n = k +1时,命题成立. 在运用归纳假设时,应分析 P ( k )与 P ( k +1)的差异及联系,利用拆、添、 并、放、缩等方法,或从 P ( k )出发拼凑 P ( k +1),或从 P ( k +1)中分离出 P ( k ), 再进行局部调整;也可考虑寻求二者的“结合点”,以便顺利过渡,切实 掌握“ 观察——归纳——猜想——证明 ”这一特殊到一般的推理方法. 方法技巧 例     (2018江苏苏州期末)在正整数集N * 上定义函数 y = f ( n ),满足 f ( n )[ f ( n + 1)+1]=2[2- f ( n +1)],且 f (1)=2. (1)求证: f (3)- f (2)=   ; (2)是否存在实数 a , b ,使得 f ( n )=   +1对任意正整数 n 恒成立,并证 明你的结论. 解析 　(1)证明:由 f ( n )[ f ( n +1)+1]=2[2- f ( n +1)],变形得 f ( n +1)=   . 由 f (1)=2,得 f (2)=   ,所以 f (3)=   . 所以 f (3)- f (2)=   -   =   . (2)由 f (2)=   , f (3)=   ,可得 a =-   , b =   . 猜想:对 n ∈N * ,均有 f ( n )=   +1. 以下用数学归纳法证明. ①当 n =1时,等式显然成立. ②假设当 n = k ( k ∈N * )时,等式成立,即 f ( k )=   +1. 则 f ( k +1)=   =   =   =   +1, f ( k ) ≠ 1,否则 f (2) = … = f ( k )=1,但 f (2) ≠ 1. 即 f ( k +1)=   +1=   +1. 即 n = k +1时,等式也成立. 由①②知,对任意 n ∈N * ,均有 f ( n )=   +1. 综上所述,存在 a =-   , b =   满足题意.