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- 2021-06-02 发布
华大新高考联盟2018届11月教学质量测评试卷
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
2. 在区间上随机取两个数,则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知复数满足,则的虚部是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
4. 已知等比数列的前项和为,，则（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
5. 已知函数,，如果,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
6. 的展开式中, 的系数为（ ）
A．-110 B．-30 C.50 D．130
7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（ ）
A．8 B．12 C.16 D．24
8. 执行如图所示的程序框图,若输出的值为2,则图中的（ ）
A．-1 B． C. D．2
9. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数具有的性质是（ ）
A．图象的对称轴为 B．在上单调递减,且为偶函数
C.在上单调递增,且为奇函数 D．图象的中心对称点是
10. 已知定点及抛物线：,过点作直线与交于，两点,设抛物线的焦点为,则面积的最小值为（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
11. 设，，为正实数,且,则的大小关系不可能是（ ）
A． B． C. D．
12. 已知数列满足,,且,则数列的前59项和为（ ）
A．-1840 B．-1760 C.1760 D．1840
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知单位向量，的夹角为120°,且,,则 ．
14.已知圆被平面区域所覆盖,则满足条件的最大圆的圆心坐标为 ．
15.已知双曲线:的左焦点为点,右焦点为点,点为双曲线上一动点,则直线与的斜率的积的取值范围是 ．
16. 以棱长为2的正方体中心点为球心，以为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 的内角，，的对边分别为，,已知，.
（1）求；
（2）若的面积，求.
18.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，且，，，点为的中点，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19.某种子公司对一种新品种的种子的发芽多少与昼夜温差之间的关系进行分析研究，以便选择最合适的种植条件.他们分别记录了10块试验地每天的昼夜温差和每块实验地里50颗种子的发芽数，得到如下资料：
（1）从上述十组试验数据来看，是否可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系？是否具有线性相关关系？
（2）若在一定温度范围内，昼夜温差与发芽数近似满足相关关系：（其中）.取后五组数据，利用最小二乘法求出线性回归方程（精确到0.01）；
（3）利用(2)的结论，若发芽数试验值与预测值差的绝对值不超过3个就认为正常,否则认为不正常.从上述十组试验中任取三组，至少有两组正常的概率是多少？
附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
20. 已知锐角的一条边的长为4，并且，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
（1）试求顶点的轨迹方程；
（2）设直线：与顶点的轨迹相交与两点，，以为直径的圆恒过轴上一个定点，求点的轨迹方程.
21. 已知函数（为自然对数的底数）.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，求的极大值；
（3）若，指出的零点个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线经过点,倾斜角为.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）证明：.
试卷答案
一、选择题
1-5: BACBC 6-10:ACCCB 11、12：DB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由，得，
∴.
∵，∴.
由，得，
∴.
∴.
（2）由（1），得.
由及题设条件，得，∴.
由，得，
∴，
∴.
18.解：（1）证明：设中点为点，连接，易知，
所以平面，平面，则平面平面，
所以平面；
（2）∵，点为中点，∴.又在中，点为的中点，，
∴，∴平面，且.不妨设，则，，
∴，，
以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，则
取.
，
二面角的余弦值为.
19.解：（1）可以判断昼夜温差与发芽数之间具有相关关系，
不具有线性相关关系；
（2）
，，
，.
（3）
十组数据中有两组不正常，
（或）
20.由题意，不妨设，设，，
化简得.
（2）设，，，
将直线：方程代入得
，，
，，
∴.
.
∴解得.
21.解：（1）时，则，∴.时，；时，，
∴的单调增区间为，的单调减区间为.
（2）时，，，设.
，∴在上单调递减，在上单调递增，且，
又，∴的极大值为.
（3）当时，∵，∴，此时的零点个数为0.
当时，.
若，，无解；
若，，即，在上，
在上单调递增，单调递减，且时，，，
∴有且仅有一解.
∴当时，的零点个数为1.
综上可得，时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1.
22.解：（1）的参数方程为（为参数），即（为参数）.
由，得，∴，
从而有，
∴的直角坐标方程为.
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得，
整理，得.
此时.
设两点对应的参数分别为，则，，
∴
.
23.解：（1）由，得，
当时，∴，解得，此时；
当时，∴，解得，此时.
综上，的取值范围是.
（2）显然，当时，；
当时，，当且仅当，，即时，等号成立.
∴.
而.
∴.