高考数学复习单元评估检测(八) 13页

‎ ‎ 单元评估检测（八）‎ ‎（第八章）‎ ‎（120分钟 150分）‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )‎ ‎(A)(0,) (B)(0,π) ‎ ‎(C)［,］ (D)［0,］∪［,π)‎ ‎2.已知b>0，直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直，则ab的最小值等于( )‎ ‎（A）1 （B）2 （C） （D）‎ ‎3.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切，且与直线l2：3x+4y-6=0平行，则直线l1的方程是( )‎ ‎(A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0‎ ‎(C)3x+4y+9=0 (D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=0‎ ‎4．(2012·厦门模拟)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )‎ ‎(A)18 (B)24 (C)36 (D)48‎ ‎5．(2012·福州模拟)若双曲线=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F‎1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6.已知双曲线-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎7．若PQ是圆x2+y2=16的弦，PQ的中点是M（1，3），则直线PQ的方程是( )‎ ‎（A）x+3y-4=0 （B）x+3y-10=0‎ ‎（C）3x-y+4=0 （D）3x-y=0‎ ‎8.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )‎ ‎（A）(x+1)2+(y-1)2=2 （B）(x-1)2+(y+1)2=2‎ ‎（C）(x-1)2+(y-1)2=2 （D）(x+1)2+(y+1)2=2‎ ‎9.已知抛物线y2=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线- =1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ ‎10.（易错题）设F1,F2分别是椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点,若直线x= (c=)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是 ‎( )‎ ‎（A）(0,］ （B）［,1) （C）［,1) （D）(0,］‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____.‎ ‎12．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2‎-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．‎ ‎13．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=____.‎ ‎14．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.‎ ‎15.(2012·南平模拟)若点P在直线l1:x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：(x-5)2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为_________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16．（13分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.‎ ‎(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）若a>-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.‎ ‎17．（13分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0）的距离的倍.‎ ‎（1）试求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.‎ ‎18．(13分)(探究题)已知椭圆+‎ ‎=1(a>b>0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．(13分)(2012·三明模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1),点B在直线y=-3上，M点满足, ,M点的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)若P为C上的动点，l为C在P处的切线，求O到l距离的最小值.‎ ‎20.（14分）（预测题）已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=y的焦点是它的一个焦点，又点A(1,）在该椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆E的方程;‎ ‎（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程.‎ ‎21.（14分）（2012·南平模拟）已知直线l1:y=2x+m(m<0)与抛物线C1:y=ax2(a>0)和圆C2:x2+(y+1)2=5都相切，F是C1的焦点.‎ ‎（1）求m与a的值；‎ ‎（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；‎ ‎（3）在（2）的条件下，记点M所在定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P、Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选D.直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα.‎ 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.‎ ‎∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是［0，］;‎ 当-1≤k<0时，倾斜角的范围是［,π).‎ ‎2.【解析】选B.由题意知·=-1,解得a=.所以ab=·b= =;又因为b>0,故≥2,当且仅当b=,即b=1时取等号.‎ ‎3.【解析】选D.因为l1与l2平行，所以可设直线l1的方程为：3x+4y+c=0,又因为l1与圆x2+y2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,所以=1,解得c=9或c=-1，‎ 因此l1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.‎ ‎4．【解析】选C.设抛物线方程为y2=2px(p>0),则|AB|=12=2p,∴p=6.‎ 点P到直线l的距离d=p,‎ ‎∴S△ABP=•2p•p=p2=36.‎ ‎5．【解析】选C.设双曲线焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),y2=2bx的焦点F(,0),‎ 则,解得,‎ ‎∴e=.‎ ‎6．【解析】选C.双曲线的方程可化为-=1，所以a=,b=,取顶点（0，‎ ‎），一条渐近线为mx-4y=0.‎ ‎∵=,即m2+16=25,∴m=3.‎ ‎7．【解析】选B.圆心为O（0，0），故直线OM斜率k==3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以kPQ=,其方程为y-3=(x-1),整理，得x+3y-10=0.‎ ‎8．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.‎ ‎【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以2R=,所以R=.设圆心坐标为P(a,-a),则点P到两条切线的距离都等于半径,所以=, =,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.‎ ‎9．【解析】选B.由题意知，=c,即p=‎‎2c 由得b2x2-4ca2x-a2b2=0 *‎ 由题意知x=c是方程*的一个根，则有 b‎2c2‎-4a2c2-a2b2=0‎ 即c4‎-6a2c2+a4=0‎ ‎∴e4-6e2+1=0‎ 又e>1‎ ‎∴e2=3+,e=+1.‎ ‎10.【解题指南】根据|F‎1F2|=|PF2|转化为点F2到直线x=的距离小于或等于 ‎|F‎1F2|来寻找a,b,c之间的关系,从而求解.‎ ‎【解析】选B.根据题目条件可知:‎ 若直线x=(c=)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则|F‎1F2|=|PF2|,可转化为点F2到直线x=的距离小于或等于|F‎1F2|，亦即-c≤‎2c，解得≥，所以e∈［，1）.‎ ‎11．【解析】设‎2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=‎2a,即a=2b,所以c= =b,所以离心率为e==.‎ 答案：‎ ‎12．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12‎-2a·0+a2‎-2a-4≤0且‎2a+4>0,解得-1≤a≤3.‎ 答案：-1≤a≤3‎ ‎13．【解析】因为l1：(a-2)x+3y+a=0与l2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直 所以，a(a-2)+3(a-2)=0,解得a=2或a=-3.‎ 答案：2或-3‎ ‎14．【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x2)，根据点到直线的距离公式，得 d==,所以当x=时，d取得最小值.‎ 答案：‎ ‎15.【解析】设曲线C表示的圆心为C(5，0),‎ 由题意可知△PMC是直角三角形，|CM|=4,当且仅当斜边|CP|最短时，|PM|最小.‎ 当CP⊥l1时,|CP|min＝,‎ 此时|PM|最小且|PM|＝=4.‎ 答案：4‎ ‎16．【解析】（1）当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l的方程为-x+y=0，即x-y=0；‎ 当直线l不经过坐标原点，即a≠-2且a≠-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a，解得a=0，此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ 所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.‎ ‎（2）由直线方程可得M(,0),N(0,2+a),‎ 又因为a>-1.‎ 故S△OMN==‎ ‎=‎ ‎≥=2,‎ 当且仅当a+1=,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ ‎17．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.‎ ‎【解析】（1）设点C（x,y），则|CA|=,|CB|=.‎ 由题意，得=.‎ 两边平方，得(x+1)2+y2=2×［(x-1)2+y2］.‎ 整理，得（x-3）2+y2=8.‎ 故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.‎ ‎（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径r=.‎ ‎①若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3≠,故该直线与圆不相切；‎ ‎②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.‎ 由直线和圆相切，得d= =,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.‎ ‎18．【解析】（1）由=,a·b=··,得a=,b=1,所以椭圆方程是+y2=1.‎ ‎（2）将y=kx+2代入+y2=1,‎ 得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)‎ 记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得 ‎（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①‎ 又x1x2=,x1+x2=,代入①解得k=，此时（*）方程Δ>0，∴存在k=,满足题设条件.‎ ‎19．【解析】(1)设M(x,y),B(x,-3),‎ ‎=(0,-3-y), =(-x,2),‎ ‎=(-x,-1-y),=(x,-2),‎ ‎∵,∴x2-4y-8=0,‎ ‎∴曲线C的方程为：y=x2-2.‎ ‎(2)设P(x0,y0),∵y′=x,∴k=x0.‎ 又∵P(x0,y0)在曲线C上，∴y0=x02-2,‎ ‎∴l切：y-y0=x0(x-x0),‎ 即:x0x-2y+2y0-x02=0,‎ ‎∴d=‎ ‎=‎ ‎≥×2×=2,‎ 当且仅当：,即x0=0时等号成立，‎ 此时O到l距离的最小值为2.‎ ‎20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为+ =1（a>2）.‎ 将点A(1,)代入方程得+=1，‎ 整理得a4‎-5a2+4=0，得a2=4或a2=1（舍）,‎ 故所求椭圆方程为+=1.‎ ‎（2）设直线BC的方程为y=x+m，‎ 设B(x1,y1),C(x2,y2),‎ 代入椭圆方程并化简得4x2+mx+m2-4=0,‎ 由Δ=‎8m2‎-16(m2-4)=8(8-m2)>0,‎ 可得0≤m2<8. (*)‎ 由x1+x2=,x1x2=,‎ 故|BC|=|x1-x2|=.‎ 又点A到BC的距离为d=,‎ 故S△ABC=|BC|·d=‎ ‎≤·=,‎ 当且仅当‎2m2‎=16‎-2m2‎,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为y=.‎ ‎【方法技巧】‎ 解决解析几何中最值问题的常用求法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:‎ ‎(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.‎ ‎(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.‎ ‎【变式备选】已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，‎ ‎（1）求椭圆的方程，‎ ‎（2）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.‎ ‎【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意,解得c=.‎ 由a2=b2+c2,得b=1.‎ ‎∴所求椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)由已知得=,可得m2=(k2+1).‎ 将y=kx+m代入椭圆方程，‎ 整理得(1+3k2)x2+6kmx+‎3m2‎-3=0.‎ Δ=(‎6km)2-4(1+3k2)(‎3m2‎-3)>0 (*)‎ ‎∴x1+x2=,x1·x2=.‎ ‎∴|AB|2=（1+k2）(x2-x1)2‎ ‎=(1+k2) ==‎ ‎=3+==4(k≠0)‎ 当且仅当9k2=,即k=时等号成立.‎ 经检验，k=满足（*）式.‎ 当k=0时，|AB|=.‎ 综上可知|AB|max=2.‎ ‎∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值Smax==.‎ ‎21.【解析】（1）由已知，圆C2:x2+(y+1)2=5的圆心为C2(0,-1)，半径r=‎ ‎.由题设圆心到直线l1:y=2x+m的距离d=，即=,解得m=-6(m=4舍去).‎ 设l1与抛物线的切点为A0(x0,y0),又y′=2ax,得2ax0=2⇒x0=,y0=.‎ 代入直线方程得：=-6,∴a=，‎ 所以m=-6,a=.‎ ‎（2）由（1）知抛物线C1方程为y=x2,焦点F（0，）.‎ 设A（x1,）,由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为（0，）‎ 所以=（x1, -）,=(0, ),‎ ‎∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，∴=+ =（x1，-3）,因为F是定点，所以点M在定直线y=上.‎ ‎（3）设直线MF：y=kx+,代入y=得-kx-=0,设P、Q两点横坐标分别为x′1,x′2,‎ 得x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9，‎ S△NPQ=|NF||x′1-x′2|‎ ‎=×3×‎ ‎=,‎ ‎∵k≠0,∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是（9，+∞）. ‎